Masas puntuales
Para dos masas puntuales que colisionan el impulso $J$ (intercambio instantáneo de momentos) se define por la ecuación escalar $$ J = (1+\epsilon)\, \mu\, v_{imp} $$
Dónde:
- $\epsilon$ es el coeficiente de restitución.
- $v_{imp} = {\bf n}^\top ( {\bf v}_1-{\bf v}_2)$ la velocidad de impacto (velocidad relativa a lo largo de la dirección normal de contacto ${\bf n}$ ).
- $\mu^{-1} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2}$ o $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1+m_2}$ el reducido masa del sistema. Prefiero el término efectivo masa del impacto.
Este impulso tiene una acción igual y opuesta sobre los dos cuerpos. Los cambios de movimiento descritos por
$$ \begin{align} \Delta {\bf v}_1 & = -\frac{J }{m_1} \,{\bf n} \\\Delta {\bf v}_2 & = +\frac{J}{m_2} \,{\bf n} \end{align} $$
Cuerpos rígidos
Supongamos ahora que los cuerpos [1] y [2] son cuerpos rígidos extendidos, en lugar de masas puntuales. Están definidos en el momento del impacto por los vectores ${\bf c}_1$ y ${\bf c}_2$ para la ubicación del centro de masa en relación con el punto de impacto, y ${\rm I}_1$ , ${\rm I}_2$ las matrices de momento de inercia de masa 3×3 en el centro de masa (y junto con las coordenadas mundiales).
La ecuación escalar para el impulso es lo mismo como la masa puntual, excepto la masa efectiva $\mu$ teniendo en cuenta también las propiedades inerciales. Esto supone un contacto sin fricción.
$$ J = (1+\epsilon) \mu \; v_{imp} $$
Dónde:
- $$\boxed{v_{imp} = {\bf n}^{\top}\left({\bf v}_{1}+{\bf c}_{1}\times{\boldsymbol{\omega}}_{1}-{\bf v}_{2}-{\bf c}_{2}\times{\boldsymbol{\omega}}_{2}\right)}$$ es la velocidad relativa a lo largo de la normal de contacto ${\bf n}$ .
- $$\boxed{\mu^{-1} = \frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}-{\bf n}^{\top}\left({\bf c}_{1}\times{\rm I}_{1}^{-1}({\bf c}_{1}\times{\bf n})+{\bf c}_{2}\times{\rm I}_{2}^{-1}({\bf c}_{2}\times{\bf n})\right)}$$ es la masa efectiva del impacto.
Así que el efecto de un cuerpo rígido es el término adicional $-{\bf n}^{\top}\left({\bf c}_{i}\times{\rm I}_{i}^{-1}\left({\bf c}_{i}\times{\bf n}\right)\right)$ a la masa efectiva inversa. Estos términos acaban siendo positivos cuando se expanden los componentes. Así que el cuerpo rígido aumentó la masa inversa, ==> reduce la masa efectiva en el punto de impacto.
Este impulso $J$ cambia el movimiento de los dos cuerpos según las ecuaciones de movimiento
$$ \begin{aligned} \Delta {\bf v}_1 &= -\frac{J}{m_1} {\bf n} & \Delta {\boldsymbol \omega}_1 &= {\rm I}_1^{-1} {\bf c}_1 \times J {\bf n} \\ \Delta {\bf v}_2 &= \frac{J}{m_2} {\bf n} & \Delta {\boldsymbol \omega}_2 &= -{\rm I}_2^{-1} {\bf c}_2 \times J {\bf n} \end{aligned} $$
Ejemplo
Una barra vertical (cuerpo [1]) de longitud $\ell$ es impactado por una masa puntual (cuerpo [2]) que se mueve a lo largo de la $-x$ dirección en el punto final.
Como tenemos una masa puntual ${\bf c}_2=0$ . Para la varilla, el momento de inercia de la masa en torno al $z$ eje es ${\rm I}_1 = \left[ \matrix{ \ddots & & \\ & \ddots & \\ & & \frac{m_1}{12} \ell^2} \right] $ y la ubicación del centro de masa respecto al punto de contacto es ${\bf c}_1 = \pmatrix{0 \\ -\frac{\ell}{2} \\ 0}$ . Por último, la normal de contacto es ${\bf n} = \pmatrix{1 \\ 0 \\ 0}$ .
La masa efectiva en el punto de impacto es
$$ \mu^{-1}= \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} - \pmatrix{1 \\ 0 \\ 0}^\top \pmatrix{0\\ -\frac{\ell}{2} \\ 0} \times \pmatrix{0 \\ 0 \\ \frac{6}{m_1 \ell}} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} + \frac{3}{m_1}$$
$$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 +4 m_2} $$
Anexo
Si ${\bf v}_1$ es la velocidad del centro de masa del cuerpo [1] ( ${\bf v}_2$ del cuerpo [2]), entonces los vectores de velocidad en el punto de impacto A se definen por
$$ \begin{aligned} {\bf v}_1^A & = {\bf v}_1 + {\bf c}_1 \times {\boldsymbol \omega}_1 \\ {\bf v}_2^A & = {\bf v}_2 + {\bf c}_2 \times {\boldsymbol \omega}_2 \end{aligned} $$
Así, la velocidad de impacto se define como $$v_{imp} = {\bf n}^\top ({\bf v}_1 + {\bf c}_1 \times {\boldsymbol \omega}_1 - {\bf v}_2 - {\bf c}_2 \times {\boldsymbol \omega}_2)$$
El efecto del impulso $J$ a lo largo de ${\bf n}$ en el punto de impacto se siente como
$$ \begin{aligned} \Delta {\bf v}_1 &= -\frac{J}{m_1} {\bf n} & \Delta {\boldsymbol \omega}_1 &= -{\rm I}_1^{-1} (-{\bf c}_1) \times J {\bf n} \\ \Delta {\bf v}_2 &= +\frac{J}{m_2} {\bf n} & \Delta {\boldsymbol \omega}_2 &= +{\rm I}_2^{-1} (-{\bf c}_2) \times J {\bf n} \end{aligned} $$
A su vez, estos cambios en el movimiento del cuerpo modifican el movimiento en el punto de impacto * A como
$$ \begin{align} \Delta {\bf v}_1^A & = \Delta {\bf v}_1 + {\bf c}_1 \times \Delta {\boldsymbol \omega}_1 \\ \Delta {\bf v}_2^A & = \Delta {\bf v}_2 + {\bf c}_2 \times \Delta {\boldsymbol \omega}_2 \end{align} $$
La ley del impacto establece que junto con la normal de contacto la velocidad de rebote es una fracción de la velocidad de impacto
$$ {\bf n}^\top ( {\bf v}_1^A + \Delta {\bf v}_1^A - {\bf v}_2^A -\Delta {\bf v}_2^A) = -\epsilon \; {\bf n}^\top ( {\bf v}_1^A - {\bf v}_2^A ) $$
Desplazando los movimientos conocidos (previos al impacto) por el lado derecho obtenemos
$${\bf n}^\top ( \Delta {\bf v}_1^A - \Delta {\bf v}_2^A) = -(1+\epsilon) \; v_{imp} $$
Añade el efecto del impulso $J$ a lo anterior para obtener
$${\bf n}^\top ( \Delta {\bf v}_1 + {\bf c}_1 \times \Delta {\boldsymbol \omega}_1 - \Delta {\bf v}_2 - {\bf c}_2 \times \Delta {\boldsymbol \omega}_2) = -(1+\epsilon) \; v_{imp} $$
$${\bf n}^\top ( -\frac{J}{m_1} {\bf n} - {\bf c}_1 \times {\rm I}_1^{-1} (-{\bf c}_1) \times J {\bf n} - \frac{J}{m_2} {\bf n} - {\bf c}_2 \times {\rm I}_2^{-1} (-{\bf c}_2) \times J {\bf n}) = -(1+\epsilon) \; v_{imp} $$
$${\bf n}^\top ( -\frac{1}{m_1} {\bf n} + {\bf c}_1 \times {\rm I}_1^{-1} {\bf c}_1 \times {\bf n} - \frac{1}{m_2} {\bf n} + {\bf c}_2 \times {\rm I}_2^{-1}( {\bf c}_2 \times {\bf n})) J = -(1+\epsilon) \; v_{imp} $$
$$ \left(\frac{1}{m_{1}}+\frac{1}{m_{2}}-{\bf n}^{\top}\left({\bf c}_{1}\times{\rm I}_{1}^{-1}({\bf c}_{1}\times{\bf n})+{\bf c}_{2}\times{\rm I}_{2}^{-1}({\bf c}_{2}\times{\bf n})\right)\right)\,J=(1+\epsilon)\,v_{imp} $$
que se resuelve para $J$
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