Demostrar que no existe $f \in X$ con $\|f\|_{\infty} = 1$ tal que $d \left (f,Y \right ) \geq 1.$

Question

Dejemos que $X = \left \{f \in C[0,1]\ \big |\ f(0) = 0 \right \}$ y $Y = \left \{f \in C[0,1]\ \bigg |\ \displaystyle {\int_{0}^{1} f(t)\ dt = 0} \right \}.$ Demuestre que no existe ningún $f \in X$ con $\|f\|_{\infty} = 1$ tal que $d \left (f,Y \right ) \geq 1.$

Si para cualquier $f \in X$ con $\|f\|_{\infty} = 1$ podemos encontrar $g_f \in Y$ tal que $\left \|f - g_f \right \|_{\infty} \lt 1$ entonces hemos terminado. Pero para un determinado $f \in X$ cómo encontrar tal $g_f\ $ ? Se agradecerá cualquier ayuda al respecto.

Gracias por su tiempo.

Answer 1

Dejemos que $g:X \to Y$ sea el mapeo $g(f) = g_f := f - \int_0^1 f$ . Entonces

$$d(f,Y) \le d(f,g_f) = ||f - g_f||_\infty = \left|\int_0^1 f \right| \le \int_0^1 ||f||_\infty = 1.$$

Para ver la desigualdad estricta, observamos que la segunda '≤' anterior es en realidad una desigualdad estricta, ya que $f$ es una función continua definida en $[0,1]$ empezando por el origen.