Sistema de 2 componentes frente a sistema de 4 componentes, número de combos a considerar

Question

Mi libro tiene la pregunta

"Un diseño para un sistema requiere la instalación de dos componentes idénticos. El sistema funcionará si al menos uno de los componentes funciona. Un diseño alternativo diseño alternativo requiere cuatro de estos componentes, y el sistema funcionará si al menos dos de los cuatro componentes funcionan. Si la probabilidad de que un componente funcione es 0,9, y si los componentes funcionan de forma independiente, ¿qué diseño tiene la mayor probabilidad de funcionar?"

Conozco p*p para y y p+p para o, así que para el sistema de dos componentes con sólo uno que necesita funcionar tienes juntos 0,9 de probabilidad para uno más 0,9 de probabilidad para el otro total de probabilidad para que funcione, así que 1,8.

Para el sistema de 4 componentes inicialmente empecé a hacer 0,9*0,9+0,9*0,9, pero luego me di cuenta de que eso sólo sería/cubriría dos combos, como (si tienen componentes a b c d) a&b o c&d, no algo como a&c b&d.

Así que tendría que hacer eso para cada combo como:

a 0,9 * b 0,9 + c 0,9 * d 0,9 + a 0,9 * c 0,9 + b 0,9 * d 0,9 + a 0,9 * d 0,9 + c 0,9 * b 0,9

¿O hay algún truco más sencillo que me haya perdido?

Edición: Esperará... no debería tener p por encima de 1 así que... ¿todo eso está apagado?

Answer 1

La posibilidad total de que algo funcione nunca puede ser mayor que $1$ . Si tienes dos artículos con posibilidad de $0.9$ cada uno, la única forma en que puede fallar es si ambos componentes fallan. Asumiendo la independencia, la posibilidad de que eso ocurra es $0.1^2=0.01$ , por lo que la probabilidad de éxito es $0.99$

Si quiere enumerar todas las posibilidades de que dos de cuatro trabajen, hay $2^4=16$ posibilidades, de las cuales $11$ tener al menos dos trabajando. Debido a la simetría, se pueden agrupar todas las posibilidades con un número determinado trabajando, por lo que hay ${4 \choose 2}=6$ posibilidades con exactamente dos trabajando. ¿Qué posibilidades hay?

Answer 2

En primer lugar, tu primera respuesta no puede ser correcta porque las probabilidades no pueden ser mayores que 1 (y tú tienes una probabilidad falsa de `1,8').

El sistema de 2 componentes falla sólo si ambos fallan, por lo que funciona con probabilidad $1 - (.1)^2 = .99.$

El sistema de 4 componentes funciona si 2 o más componentes funcionan. Sea el número de componentes que funcionan sea $X \sim \mathsf{Binom}(4, .9).$ Entonces puedes sumar los términos de esta PDF binomial para encontrar $P(X \ge 2) = 0.9963.$ Tendrá menos términos para sumar si encuentra $P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1).$ [Cálculos en R a continuación].

sum(dbinom(2:4, 4, .9))
[1] 0.9963
1 - pbinom(1, 4, .9)
[1] 0.9963
 1 - .1^4 - 4*.9*.1^3
[1] 0.9963