Dejemos que $x$ , $y$ $\in$ $\mathbb{R}$ , encuentra todos los números complejos $z=a+bi$ satisfaciendo $|z+x|$ $= y$

Question

Dejemos que $x$ , $y$ $\in$ $\mathbb{R}$ , encuentra todos los números complejos $z=a+bi$ satisfaciendo $|z+x|$ $= y$ .

Porque $x$ y $y$ son números reales y $z=a+bi$ entonces, $|z+x|=|(a+x)+bi|=\sqrt{(x+a)^{2}+b^{2}}$ .

Por lo tanto, $\sqrt{(x+a)^{2}+b^{2}}=y$ . Así que, $(x+a)^{2}+b^{2}=y^{2}$ $\implies$ $x^{2}+2ax+a^{2}+b^{2}=y^{2}$

El problema con el que me encuentro ahora es que la única solución de $z$ que soy capaz de proporcionar es en términos de sí mismo (resolviendo para $a$ me da una expresión con $b$ y viceversa), creo que he hecho algo mal o hay algo que se me escapa.

También he intentado hacer una interpretación geométrica del problema para resolverlo, pero me he quedado con las manos vacías.

Una pista o una explicación de dónde estoy haciendo algo mal sería muy apreciada.

Answer 1

Está usted absolutamente en la línea correcta, de hecho está más o menos ahí. Una respuesta en términos de $a$ o $b$ es perfectamente aceptable. La solución para $b$ se obtiene

$$b = \pm\sqrt{y^2 -(x+a)^2} $$

y entonces puedes sustituir esto de nuevo en tu formulario general $z= a+bi$ . Así, para cualquier par de números reales $x$ y $y$ números complejos de la forma

$$ z = a \pm i\sqrt{y^2 -(x+a)^2 }$$

satisfacen la propiedad deseada de que $|z + x| = y$ . En otras palabras, dado $x$ y $y$ Entonces, al conectar cualquier número real $a$ en la fórmula anterior te da un número complejo válido. Espero que esto te ayude.