integral de una función tridimensional esféricamente simétrica sobre todo el espacio

Question

Lo siento mucho porque puede que sea una pregunta muy básica pero no soy capaz ni de resolverla con seguridad, ni de encontrar una respuesta en stackexchange o en otro sitio.

Tengo que calcular

$ \int \int n(\vec{r})u(||\vec{r}-\vec{r}'||) n(\vec{r}') d\vec{r} d\vec{r}'$

Para algún propósito, tengo un caso en el que $n(\vec{r})=n$ es un valor constante.

Por lo tanto, tengo

$ n^2 \int\int u(||\vec{r}-\vec{r}'||) d\vec{r} d\vec{r}' $

Hagamos hincapié en que $u$ es una función de simetría esférica (radial en mi vocabulario de físico), por lo que

$ n^2 \int\int u(||\vec{r}-\vec{r}'||) d\vec{r} d\vec{r}' = n^2 \int\int u(r) d\vec{r} d\vec{r}' $ (si no estaba claro antes)

Cada integración es sobre todo el espacio en 3 dimensiones.

Esta es mi pregunta: Tengo razón al decir que

$n^2 \int\int u(r) d\vec{r} d\vec{r}' = 4 \pi n^2 \int u(r) r^2 dr $

?

Mi opinión es que $u$ siendo independiente de $\theta$ y $\psi$ la integración sobre estos ángulos conduce al ángulo sólido de toda la esfera : $4\pi$ . El resto se queda ...

Answer 1

Al contrario de lo que escribí en un comentario cuando aún no me había dado cuenta de que pasabas de una integral doble a una integral única, esto no es correcto; no puedes dejar de lado una de las integrales.

Si entiendo bien su notación, $r=\lVert\vec r-\vec r'\rVert$ (lo cual es ligeramente confuso, ya que $r$ se suele utilizar para indicar $\lVert\vec r\rVert$ ). Sustituyendo $\vec r''=\vec r-\vec r'$ podemos factorizar las integrales:

$$\iint u(\lVert\vec r-\vec r'\rVert)\mathrm d\vec r\mathrm d\vec r'=\iint u(\lVert\vec r''\rVert)\mathrm d\vec r''\mathrm d\vec r'=\int u(\lVert\vec r''\rVert)\mathrm d\vec r''\mathrm \int \mathrm d\vec r'\;.$$

(También podríamos haber mantenido $\vec r$ y reemplazado $\vec r'$ ; como todas las integrales son sobre todo el espacio, no hay diferencia). En efecto, podemos transformar la integral de la izquierda sobre $\vec r''$ en una integral radial:

$$\int u(\lVert\vec r''\rVert)\mathrm d\vec r''=4\pi\int u(r)r^2\mathrm d r\;.$$

Pero la integral de la derecha sobre $\mathrm d\vec r'$ es infinito. Así que hay un problema fundamental en su configuración. La función $n$ normalmente debería ser responsable de hacer que la integral sea finita al decaer lo suficientemente rápido; el problema puede ser que la estás tomando como constante.