Ecuaciones de movimiento cumulantes

Question

Estoy estudiando una dinámica de tipo Langevin y tengo una ecuación de la siguiente forma:

$$m\dot v= -\gamma v \ +\xi(t) + F_0\cos(\omega t) \\ \langle\xi_0\xi_t\rangle =2D\ \delta(t)$$

Y me piden que encuentre la evolución para los cumulantes. Estoy familiarizado con los cumulantes como generados por $G(\lambda)=\ln \int dx \ f(x)\ e^{\lambda x}$ y luego $\kappa_n= d^nG/d\lambda^n$ en $\lambda=0$

Así que donde me quedo atascado es en cómo conseguir $f(x)$ que en realidad sería $f(v)$ para este caso. Sé que necesito algún tipo de ecuación de Fokker-Planck a partir de esto, pero todavía estoy un poco inseguro de dónde viene (y si lo necesito en este escenario).

Una vez que sepa $f$ Entonces sólo tengo que diferenciar $G$ entonces los cumulantes siguen siendo las enésimas derivadas.

Answer 1

Se trata de un proceso de Ornstein-Uhlebeck con deriva dependiente del tiempo y se puede resolver esta EDO lineal con término de forzamiento inhomogéneo formalmente como (lo voy a hacer con masa unitaria pero es sencillo de adaptar al caso general) $$ \begin{align} v(t) = e^{-\gamma t} v_0 + \int_0^t e^{-\gamma(t-\tau)} \xi(\tau) \operatorname{d}\tau + F_0 \int_0^te^{-\gamma(t- \tau)} \cos (\omega \tau)\operatorname{d}\tau, \end{align} $$ se trata de una variable aleatoria gaussiana: todo el comportamiento estocástico proviene de $\int_0^t e^{-\gamma(t-\tau)}\xi(\tau)\operatorname{d\tau}$ que siendo una transformación lineal de una variable aleatoria gaussiana es a su vez una variable aleatoria gaussiana -existen preguntas que justifican este hecho.

Ahora se sabe que la función generadora de momentos de una variable aleatoria gaussiana es $$ M(\vartheta)=e^{\mu_t \vartheta + \frac{\vartheta^2\sigma^2_t }{2}}, $$ donde $$ \mu_t := \mathbb{E}\left[v(t)\right], \qquad \sigma_t^2 :=\mathbb{E}\left[ (v(t)-\mu_t)^2\right], $$ donde el subíndice indica la dependencia temporal de estos valores. Tomando el logaritmo de esto obtenemos la función generadora de cumulantes y también vemos que termina después del término de segundo orden.

Es sencillo calcular $\mu_t$ y $\sigma_t^2$ de la solución explícita anterior, y esto es lo que hace que el proceso de OU sea tan manejable en comparación con los casos en los que la fuerza gaussiana actúa multiplicativamente con el estado o las difusiones no lineales más generales. Haciendo esto obtenemos $$ \begin{align} \mu_t &= \mathbb{E}\left[e^{-\gamma t}v_0 + \int_0^t e^{-\gamma(t-\tau)} \xi(\tau) \operatorname{d}\tau + F_0 \int_0^te^{-\gamma(t- \tau)} \cos (\omega \tau)\operatorname{d}\tau\right] \\ &= e^{-\gamma t}v_0 + F_0 \int_0^te^{-\gamma(t- \tau)} \cos (\omega \tau)\operatorname{d}\tau + \mathbb{E}\left[ \int_0^t e^{-\gamma(t-\tau)} \xi(\tau) \operatorname{d}\tau \right] \\ &= e^{-\gamma t}v_0 + F_0 \int_0^te^{-\gamma(t- \tau)} \cos (\omega \tau)\operatorname{d}\tau \end{align} $$ y también para calcular $\sigma_t^2$ tenemos el resultado más general de que la covarianza viene dada por $$ \begin{align} \operatorname{Cov}\left\{\int_0^s e^{-\gamma(t-s)}\operatorname{d}\sigma, \int_0^te^{-\gamma(t-\tau)}\operatorname{d}\tau\right\} &= \int_0^s \int_0^te^{-\gamma(t+s - (\tau + \sigma)}\langle \xi(\tau)\xi(\sigma)\rangle \operatorname{d}\tau \operatorname{d}\sigma \\ &= \frac{D}{\gamma}\left(e^{-\gamma|t-s|}-e^{-\gamma(t+s)} \right), \end{align} $$ y en particular $$ \sigma_t^2 = \frac{D}{\gamma}\left(1-e^{-2\gamma t} \right). $$