Prueba de geometría: Demuestra que A - B - C si C - B - A

Question

$A-B-C$ significa que existe una función $f$ en la línea que contiene $A,B,C$ tal que $f(A)<f(B)<f(C)$ . Creo que esto se llama el axioma de la interinidad en algunos libros de geometría.

Mi profesor dijo que tenemos que demostrar que hay otra función en la línea que contiene $A,B,C$ que mapea $A,B,C$ a un codominio tal que $f(C) < f(B) < f(A)$ . Estoy un poco confundido, ¿puedo definir esa otra función para que sea lo que yo quiera? Parece que hacer la función $g(x) = -x$ lo lograría. ¿Se me permite hacer esa función como quiera?

Answer 1

Depende de qué tipo de funciones $f\colon\{A,B,C\}\to X$ que permite. De su uso del símbolo $<$ deduzco que $X$ es de hecho un conjunto (¿totalmente?) ordenado. Si además $X$ resulta ser un grupo abeliano totalmente ordenado, y el subconjunto de funciones permitidas $\{A,B,C\}\to X$ lleva suficiente estructura (por ejemplo, como subgrupo del grupo abeliano $X^{\{A,B,C\}}$ ), entonces su idea de dejar simplemente $g(x)=-f(x)$ está bien.

Alternativamente, si $X$ es sólo un conjunto ordenado y se permite cambiar (de forma suficientemente arbitraria) el codominio de sus funciones, entonces sólo hay que sustituir $X$ con $X^{\operatorname{op}}$ también estaría bien (donde $X^{\operatorname{op}}$ es el conjunto $X$ con el orden invertido, es decir $a<^{\operatorname{op}}b\iff b<a$ ).

Answer 2

Debe faltar alguna información en la pregunta, porque como se ha dicho, la condición no nos dice realmente nada sobre la relación entre $A$ , $B$ y $C$ . Si eliges cualquier cosa al azar $A$ , $B$ y $C$ siempre que sean diferentes, se puede definir la función $f$ por: $$ f(p) = \begin{cases} 0 &\text{if }p=A \\ 1 &\text{if }p=B \\ 2 &\text{for all other }p\end{cases}$$ y esto $f$ demostrará entonces que " $A-B-C$ ".

Está claro que esto no consigue definir ningún tipo de "entre", por lo que sospecho que hay condiciones adicionales en $f$ que no ha mencionado en la pregunta, por ejemplo algo como " $f(p)$ debe ser una función afín de las coordenadas de $p$ ".