¿Cómo visualizar los coeficientes de la serie de Laurent?

Question

Estoy tratando de pensar en esto mismo como la serie de Taylor $\displaystyle{f(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_k\,(z-z_0)^k}$ con los coeficientes $a_k = \dfrac{f^{k}(z_0)}{k!}$ . Puede imaginarse fácilmente cómo $f(z)$ se aproxima a $z_0$ añadiendo más y más partes polinómicas de mayor dimensión (primero es una recta, luego una parábola, etc.)

Tengo problemas para ampliar esta idea en la serie Laurent, aprendiendo sobre esto ahora mismo: $f(z) = \displaystyle{f(z) = \sum_{k = 0}^{\infty} a_k\,(z-z_0)^k} + \sum_{k = 0}^{\infty} b_j(z-z_0)^{-j}$ con $a_k = \dfrac{1}{2\,\pi\,i} \int_C\dfrac{f(z)}{(z-z_0)^{k+1}}\,\mathrm{dz}$ y $b_j = \dfrac{1}{2\,\pi\,i} \int_C\dfrac{f(z)}{(z-z_0)^{-n+1}}\,\mathrm{dz}$ .

Sé que la serie Laurent se utiliza cuando el punto $z_0$ de donde construyes tu serie no es analítica expresándola con la ayuda de coeficientes $b_j$ . También la serie Laurent sólo parece funcionar en un dominio $n_1 < \vert z\vert <n_2.$ Esto puede dificultar la visualización de todo el proceso. Lo mejor que puedo hacer es pensar en $f(z)$ como una función bidimensional (magnitud de $f(z)$ sobre el plano imaginario-real) aproximado por una serie de Taylor de 2 dimensiones. Sólo que los puntos no analíticos $z_0$ como las singularidades se incluyen. Esto no explica por qué la serie está restringida a $n_1<\vert z \vert <n_2$ donde sólo converge.

Answer 1

Una forma de visualizar el significado de las series de Laurent es utilizar la serie de Fourier.

Veamos los valores de la función $f(z)$ a lo largo del círculo dado por $|z-z_0|=r$ donde suponemos que este círculo se encuentra en la región de convergencia de la serie de Laurent dada. Si $$ f(z) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_k (z-z_0)^k $$ entonces $$ f(z_0+re^{i\phi}) = \sum_{k=-\infty}^\infty a_k r^k e^{ik\phi} $$ Esto significa que si $a_k$ son los coeficientes de la serie de Laurent de la función $f(z)$ entonces $a_kr^k$ son los coeficientes de la serie de Fourier (en forma exponencial) de la función $g(\phi) = f(z_0+re^{i\phi})$ . Y así como la serie de Fourier es la descomposición de una función periódica en funciones trigonométricas, la serie de Laurent es la descomposición de una función holomorfa en funciones que "oscilan" alrededor del punto $z_0$ : función $(z-z_0)^0 = 1$ no tiene oscilaciones, la función $(z-z_0)$ tiene una oscilación alrededor del círculo, la función $(z-z_0)^k$ tiene $k$ oscilaciones, función $(z-z_0)^{-k}$ también tiene $k$ oscilaciones, pero en cierto modo "en sentido contrario".

En cuanto a la comprensión de la convergencia de la serie de Laurent, la división $$ f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k + \sum_{k=1}^{\infty} a_{-k} (z-z_0)^{-k}$$ Tenga en cuenta que si $|z-z_0|$ es demasiado grande, entonces $|z-z_0|^{k}$ puede crecer demasiado rápido para la serie $\sum_{k=0}^\infty a_k(z-z_0)^k$ para converger; por otro lado, si $|z-z_0|$ es demasiado pequeño, entonces $|z-z_0|^{-k}$ puede no bajar lo suficientemente rápido para la serie $ \sum_{k=1}^{\infty} a_{-k} (z-z_0)^{-k}$ para converger. Si tanto los valores demasiado grandes como los demasiado pequeños de $|z-z_0|$ no están permitidos, se obtiene una condición de la forma $n_1 < |z-z_0| < n_2$ .