Dejemos que $\Phi(x)$ denotan la fdc de la distribución normal estándar. ¿Cuáles son las asintóticas de $\Phi^{-1}(p)$ , como $p \to 1$ ? En particular, ¿existe una expresión asintótica para $\Phi^{-1}(1-x)$ , como $x \to 0$ ? Una aproximación de primer orden estaría bien.
Una forma de obtener estimaciones de $\Phi(x)$ para grandes $x$ es integrar repetidamente por partes. Primero en integrar $e^{-y^2/2} dy$ , usted escribe $dv=ye^{-y^2/2} dy,u=1/y$ , lo que da lugar a
$$\int_x^\infty e^{-y^2/2} dy = \frac{e^{-x^2/2}}{x} - \int_x^\infty \frac{e^{-y^2/2}}{y^2} dy.$$
Ahora se puede repetir esta misma técnica arbitrariamente muchas veces (aunque para cualquier $x$ los límites obtenidos acabarán siendo menos ajustados). Un paso más es lo que se requiere para una primera asintótica:
$$\int_x^\infty e^{-y^2/2} dy = \frac{e^{-x^2/2}}{x} - \frac{e^{-x^2/2}}{x^3} + 3 \int_x^\infty \frac{e^{-y^2/2}}{y^4} dy.$$
Por lo tanto,
$$\frac{e^{-x^2/2}}{x} - \frac{e^{-x^2/2}}{x^3} \leq \int_x^\infty e^{-y^2/2} dy \leq \frac{e^{-x^2/2}}{x}.$$
Ahora escribe el interior como $\sqrt{2\pi}-\sqrt{2\pi} \Phi(x)$ y hacer algo de álgebra:
$$\frac{\sqrt{2\pi}-\frac{e^{-x^2/2}}{x} + \frac{e^{-x^2/2}}{x^3}}{\sqrt{2\pi}} \geq \Phi(x) \geq \frac{\sqrt{2\pi}-\frac{e^{-x^2/2}}{x}}{\sqrt{2\pi}}.$$
Esto da los límites
$$\Phi^{-1} \left ( 1-\frac{\frac{e^{-x^2/2}}{x}}{\sqrt{2\pi}} \right ) \leq x \\ \Phi^{-1} \left ( 1-\frac{\frac{e^{-x^2/2}}{x} - \frac{e^{-x^2/2}}{x^3}}{\sqrt{2\pi}} \right ) \geq x.$$
Esto reduce su pregunta a la búsqueda de estimaciones para las inversas locales de $e^{-x^2/2}(1/x)$ y $e^{-x^2/2}(1/x-1/x^3)$ para grandes $x$ (para poder sustituir el argumento por $1-x$ y el lado derecho por el inverso local apropiado).
El primero puede explicitarse fácilmente:
$$\Phi^{-1}(1-x) \leq (W(x^{-2}))^{1/2}$$
donde $W$ es la función W de Lambert. Esta última no es tan fácil.
Tenemos $$\Phi(x) = \frac 1 2 + \frac 1 2 \operatorname{erf} \frac x {\sqrt 2} \sim 1 - \frac 1 {x \sqrt {2 \pi}} e^{-x^2/2}, \\ \ln (1 - \Phi(x)) \sim -\frac {x^2} 2 - \ln (x \sqrt {2 \pi}) \sim -\frac {x^2} 2, \quad x \to \infty, \\ \Phi^{-1}(1 - y) \sim \sqrt {-2 \ln y}, \quad y \to 0^+.$$ Más términos se dan en Blair, Edwards, Johnson, Aproximaciones racionales de Chebyshev para la inversa de la función de error .
A modo de ejemplo, esto es lo que se obtiene cuando se toma el límite superior de $\Phi$ dado en mi respuesta y aproximarlo un poco más (reteniendo sólo el término de orden principal en $\ln(1-\Phi(x))$ ).
@ChrisJones El segundo término es correcto, el tercero debería ser $-\ln(2 \sqrt \pi)/\sqrt {2 \ln(1/x)}$ . Tomando la derivación de la respuesta enlazada y fijando $\xi = 1$ debería dar el mismo resultado.
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