¿Cómo demostrar la equivalencia del flujo RG de la constante de acoplamiento de QFT y la resumida diagramática a escala de renormalización fija?

Question

Los libros de QFT dicen que resolver la ecuación RG $\frac {dg} {d\textbf{ln} \mu}=\beta(g)$ utilizando la función beta de bucle único, es la aproximación del "logaritmo principal" equivalente a resumir infinitas correcciones de bucle dispuestas en forma de muñeca rusa, a una escala de renormalización fija.

Aunque no dudo de la validez de esta afirmación, ¿puede alguien indicarme una prueba diagramática directa? Creo que puede haber mucha sutileza en una prueba precisa, y no me satisfacen los argumentos de plausibilidad.

Answer 1

No es una prueba "diagramática", pero se puede ver que esto es, de hecho, la aproximación del "logaritmo principal" mirando lo que se obtiene cuando se resuelve el Callan-Symanzik con la primera función beta de bucle. Digamos que tengo una función de correlación $\mathcal{G}(\lambda,\ell)$ que es una función de algún acoplamiento marginal $\lambda$ y $\ell \equiv \log \Lambda$ el logaritmo de la escala de energía. Digamos que el primer bucle $\beta$ función para $\lambda$ parece

$\beta(\lambda) = b\lambda^2 + \mathcal{O}(\lambda^3)$

para alguna constante $b$ . Al igual que el escalar $\phi^4$ en $d=4$ .

La ecuación del CS es la siguiente

$\left(\frac{\partial}{\partial\ell} - \beta(\lambda)\frac{\partial}{\partial\lambda}\right)\mathcal{G}(\lambda,\ell) = 0$

Resolviendo esta ecuación con el orden más bajo $\beta$ le ofrece la función $\mathcal{G}$ en el límite $\lambda \rightarrow 0$ pero $\lambda\ell$ fijo. Se trata, por tanto, de la suma de los términos que llevan en $\ell$ por cada pedido de $\lambda$ . Se puede ver esto reescribiendo $\mathcal{G}$ de la siguiente manera:

$\mathcal{G}(\lambda,\ell) = \lambda\mathcal{G}^{(1)}(\lambda\ell) +\lambda^2\mathcal{G}^{(2)}(\lambda\ell) + \lambda^3\mathcal{G}^{(3)}(\lambda\ell) +\,\,...$

donde el $\mathcal{G}^{(i)}$ son algunas funciones desconocidas de una sola variable. Se puede hacer esto ya que hay un nivel máximo de divergencia en cada orden de la teoría de la perturbación. Si introduces esto en la ecuación del CS y sigues el orden de los términos ves que obtienes una buena ecuación diferencial para $\mathcal{G}^{(1)}$ pero no para ninguno de los términos de orden superior. Si se pasa al siguiente orden en $\lambda$ en el $\beta$ que le daría una buena ecuación para $\mathcal{G}^{(2)}$ que es el siguiente a los diagramas más divergentes de cada orden de la teoría de perturbación. Así que el procedimiento RG convierte el límite $\lambda\rightarrow 0$ , $\ell$ que se obtiene de la teoría de perturbación estándar, en el límite $\lambda\rightarrow 0$ , $\lambda\cdot\ell$ fijo, que suele ser más útil.

Answer 2

Si se resuelve la ecuación en segundo orden se obtiene

$g=\frac{g_0}{1-a g_0 log\lambda}=g_0 +\sum_n g_0^{n+1}a^nlog^n \lambda$

la segunda parte es la contribución de las potencias del primer diagrama de bucle, por ejemplo, trate de escribir primero g en el bucle 1 y luego sume todas las potencias del diagrama de primer orden.