Prueba este límite $\lim \limits_{x\to\infty}f(x)=0$

Question

Tengo este problema en el análisis real. Creo que se necesita un factor integral o conocimientos de EDO para demostrarlo, pero no estoy seguro de cómo hacerlo. Aquí está la pregunta:

Dejemos que $f$ sea una función continua de valor real sobre $[0,\infty]$ tal que $$ \lim \limits_{x\to\infty}\left(f(x)+\int_{0}^{x}f(t)dt\right) $$ existe. Demostrar que $$ \lim \limits_{x\to\infty}f(x)=0 $$

Answer 1

Se nos da $f(x) + \int_0^x f \to L.$ Para mostrar $f(x)\to 0,$ tenemos que mostrar $ \int_0^x f \to L.$ Pero tenga en cuenta

$$\tag 1 \int_0^x f =\frac{e^x\int_0^x f}{e^x}.$$

Como el denominador de la derecha $\to \infty,$ podemos contemplar el uso de L'Hopital. Vamos a probarlo: El cociente de las derivadas es

$$\tag 2 \frac{e^x(f(x)+\int_0^x f)}{e^x} = f(x)+\int_0^x f.$$

El lado derecho de $(2)\to L$ por hipótesis. Por lo tanto, por L'Hopital, $(1)\to L,$ y hemos terminado.

Answer 2

Dejemos que $g(x)=e^x\int_{0}^{x}f(t)dt$ entonces $$ g'(x)=e^x\left(f(x)+\int_{0}^{x}f(t)dt\right) $$ Así que hay $$ \lim \limits_{x\to\infty}g'(x)e^{-x}=\lim \limits_{x\to\infty}\left(f(x)+\int_{0}^{x}f(t)dt\right)=A $$ Así que para cualquier $\epsilon>0$ , hay $M>0$ , tal que para todo $x>M$ $$ A-\epsilon<g'(x)e^{-x}<A+\epsilon \hspace{5 mm} \text{or} \hspace{5 mm} (A-\epsilon)e^{x}<g'(x)<(A+\epsilon)e^{x} $$ Integrando en ambos lados de $M$ a $x$ , hay $$ (A-\epsilon)\left(e^{x}-e^M\right)<g(x)-g(M)<(A+\epsilon)\left(e^{x}-e^M\right) $$ Así que tenemos $$ \left((A-\epsilon)\left(e^{x}-e^M\right)+g(M)\right)e^{-x}<\int_{0}^{x}f(t)dt<\left((A+\epsilon)\left(e^{x}-e^M\right)+g(M)\right)e^{-x} $$ Y $$ \varlimsup\limits_{x\to\infty}\int_{0}^{x}f(t)dt\leqslant \varlimsup\limits_{x\to\infty}\left((A+\epsilon)\left(e^{x}-e^M\right)+g(M)\right)e^{-x}=A+\epsilon $$ $$ \varliminf\limits_{x\to\infty}\int_{0}^{x}f(t)dt\geqslant \varliminf\limits_{x\to\infty}\left((A-\epsilon)\left(e^{x}-e^M\right)+g(M)\right)e^{-x}=A-\epsilon $$ Así que tenemos $$ 0\leqslant \varlimsup\limits_{x\to\infty}\int_{0}^{x}f(t)dt-\varliminf\limits_{x\to\infty}\int_{0}^{x}f(t)dt\leqslant 2\epsilon $$ Como ϵ es arbitraria, tenemos $$ \varlimsup\limits_{x\to\infty}\int_{0}^{x}f(t)dt=\varliminf\limits_{x\to\infty}\int_{0}^{x}f(t)dt=A \hspace{5 mm} $$ O $$ \lim\limits_{x\to\infty}\int_{0}^{x}f(t)dt=\lim \limits_{x\to\infty}\left(f(x)+\int_{0}^{x}f(t)dt\right) $$ Así que finalmente tenemos $$ \lim \limits_{x\to\infty}f(x)=\lim \limits_{x\to\infty}\left(\left(f(x)+\int_{0}^{x}f(t)dt\right)-\int_{0}^{x}f(t)dt\right)=0 $$