Integral del cuadrado de la integral de una función en $L^1 \cap L^2(S^1 \times \mathbb{R})$

Question

Supongamos que tengo una función $f: S^1 \times \mathbb{R} \to [0,+\infty]$ que está en $L^1(S^1 \times \mathbb{R}) \cap L^2(S^1 \times \mathbb{R})$ . Me pregunto sobre la integral $$I := \int_{S^1} \left( \int_{\mathbb{R}} f(t,x)dx \right)^2 dt.$$ ¿Puedo concluir que esta integral es finita y, mejor aún, puedo estimarla en términos de $||f||_{L^1(S^1 \times \mathbb{R})}$ y $||f||_{L^2(S^1 \times \mathbb{R})}$ ? No considero los espacios $S^1$ y $\mathbb{R}$ de vital importancia - lo único importante es que $S^1$ tiene medida finita y $\mathbb{R}$ tiene una medida infinita. Realmente no pude avanzar mucho en esto, lo mejor que pude hacer es tratar de pensar en un ejemplo donde $I$ sería infinito y llegaría a $f(x,t) = \frac{1}{2}e^{-x}\frac{1}{\sqrt{t}}$ (donde he sustituido $S^1$ por $[0,1]$ pero estoy seguro de que se podría dar un ejemplo similar para $S^1$ también). Sin embargo, este $f$ no está en $L^2([0,1] \times \mathbb{R})$ .

Answer 1

Consideremos un escenario algo más sencillo: Dejemos que $E=(0,1)\times(0,\infty)$ con medida de área. Para $(t,x)\in E,$ definir

$$f(t,x) = \frac{1}{1+tx^2}.$$

Me parece que $f\in (L^1\cap L^2)(E).$ ¿Qué obtienes por

$$\int_0^1 \left (\int_0^\infty f(t,x)\,dx\right )^2 \,dt?$$