¿Es cierto que toda matriz de dimensión finita es un operador lineal acotado?

Question

¿Es cierto que toda matriz de dimensión finita es un operador lineal acotado? ¿Cómo calcular su norma entonces? ¿Está relacionada con el valor singular?

Answer 1

Sí, todo operador entre espacios vectoriales de dimensión finita (que incluye todas las matrices finitas) está acotado. Si la norma tomada en los espacios subyacentes $\Bbb R^n$ y $\Bbb R^m$ es la norma euclidiana habitual, entonces la norma del operador inducido en la matriz será precisamente el mayor valor singular.

En particular, tenemos $$ \left(\sup_{\|x\|=1} \|Ax\|\right)^2= \sup_{\|x\|=1} (Ax)^T(Ax)= \sup_{\|x\|=1} x^T(A^TA)x $$ y por el teorema de Rayleigh Ritz, esto coincide con $\sigma_1^2$ .

Answer 2

Es cierto que todo operador lineal en un espacio de dimensión finita está acotado. Esto está relacionado con el hecho de que todas las normas en un espacio dimensional finito son equivalentes.

Answer 3

Bueno, hay varias normas que podría tener la matriz. Por ejemplo $$\Vert A \Vert_2 = \bigg(\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n |a_{ij}|^2 \bigg)^{-\frac{1}{2}},$$

y está claro que como estamos sumando cantidades finitas el total será simplemente un número finito y por tanto acotado.