$\mathrm{Proj}(A)$ y cuando $A_1 = \Gamma(\mathcal{O}(1))$

Question

Dejemos que $A=\bigoplus_{k \in \mathbb{Z}} A_k$ sea un noetheriano $\mathbb{Z}$ -anillo conmutativo graduado. Sea $X=\mathrm{Proj}(A)$ y que $\mathcal{O}(1)$ sea la gavilla en $X$ asociado al grado $A$ -Módulo $A(1)$ (cuyo grado $n$ El término es $A_{n+1}$ ). Tenemos un mapa natural $i:A_1 \to \Gamma(X, \mathcal{O}(1))$ .

1) ¿cuál es un ejemplo en el que $i$ no es un isomorfismo?

2) Un libro que estoy leyendo dice que si $A$ es integralmente cerrado en su anillo cociente total, entonces $i$ es un isomorfismo, bajo la hipótesis de que existe una colección finita de elementos $a_i \in A_1$ con $X = \bigcup_i D_+(a_i)$ y $A_+:=\bigoplus_{k \geq 1}A_k$ es generado por $A_1$ . ¿Qué es una prueba o una referencia?

Answer 1

Para (1), tome $A$ para ser el anillo de coordenadas homogéneo de la curva racional $C$ en $\mathbb P^3$ parametrizado por $[s^4,s^3t,st^3,t^4]$ (se trata de la proyección del cuarteto racional en $\mathbb P^4$ a un hiperplano). Se puede comprobar que $C$ no está contenido en ningún hiperplano, por lo que $A_1$ es $4$ -(abarcados por las imágenes de los hiperplanos de coordenadas del anillo de coordenadas homogéneo de $\mathbb P^3$ ). Sin embargo, tenemos que $\mathcal O_A(1)\cong \mathcal O_{\mathbb P^1}(4)$ (tiene que ser de la forma $\mathcal O_{\mathbb P^1}(k)$ y sólo hay que comprobar que un hiperplano general en $\mathbb P^3$ se encuentra con $C$ en 4 puntos). Desde $\dim H^0(\mathbb P^1, \mathcal O_{\mathbb P^1}(4))=5$ el mapa $A^1\to H^0(\mathbb P^1, \mathcal O_{\mathbb P^1}(4))$ no puede ser sobreyectiva.

Nótese que se pueden producir muchos ejemplos de esta manera: cualquier variedad proyectiva embebida por una serie lineal no completa (es decir, por algún subespacio propio de secciones globales) dará lugar a un ejemplo de este tipo.

Por cierto, esto dio un ejemplo en el que el mapa no es suryectivo, ¡pero tampoco tiene por qué ser inyectivo! Un problema es que cualquier $A'$ Diferente por $A$ sólo en un número finito de piezas graduadas determina el mismo esquema $X$ y la gavilla $\mathcal O_X(1)$ , por lo que (por ejemplo) se pueden tirar o añadir elementos de $A_1$ sin cambiar $H^0(X,\mathcal O_X(1))$ . Para un enfoque más sistemático para examinar cuándo el núcleo y el cokernel de $ A^1\to H^0(X, \mathcal O_{X}(1))$ se puede utilizar la cohomología local (al menos cuando $A$ es $\mathbb N$ -clasificado). Para más detalles, véase (por ejemplo) el apéndice de la Geometría de las Syzygies de Eisenbud; esencialmente, la idea es que al elegir una suryección $k[x_0,\ldots,x_n]\to A$ se determina una incrustación $\mathrm{Proj}\,A\hookrightarrow \mathbb P^{n}$ Entonces tenemos una secuencia exacta de módulos graduados $$ 0\to H^0_{(x_0,\dots,x_n)}(A)\to A \to \bigoplus_d H^0(X,\mathcal O_X(d))\to H^1_{(x_0,\dots,x_n}(A)\to 0. $$ En particular, el obstáculo para que su mapa sea un isomorfismo radica en las primeras piezas graduadas de los términos iniciales y finales de la secuencia.

Para (2), el ejercicio II.5.14 de la Geometría Algebraica de Hartshorne esboza una prueba de este hecho; si necesitas más ayuda en alguno de los pasos házmelo saber y puedo completarlo aquí.