He visto algunos problemas de límites en los que se puede hacer esto: $$ \lim_{x \to \infty} \exp\left({g(x)}\right) = \exp \left( \lim_{x \to \infty }g(x)\right) . $$ Así que he intentado generalizar el resultado como: $$ \lim_{x \to \infty} f(g(x)) = f \left( \lim_{x \to \infty }g(x) \right) $$ y me preguntaba si el resultado anterior es realmente cierto, y en qué condiciones. Quizás alguien pueda indicarme un teorema.
La continuidad resulta ser la condición adecuada. Mientras $f$ es continua y el límite de $g$ existe en el punto en cuestión, entonces el límite conmutará con la composición. Es decir, para un $x$ en el ámbito de $g$ , $$ \lim_{x\to t} f(g(x)) = f (\lim_{x\to t} g(x))$$ Cuando se trata de valores en el infinito, técnicamente se quiere que las funciones sean continuas en la recta real extendida (compactificaciones de dos puntos o de un punto). En la práctica, eso equivale a demostrar $$ \lim_{x\to \infty} g(x)$$ existe.
Podrían pasar cosas raras. Si $f$ es constante y el límite de $g$ no existe, entonces la izquierda podría existir y la derecha no.
¿Y si garantizamos que todos los límites existen, entonces. ¿Tiene $g$ ¿sigue siendo necesario que sea continua?
Para que una sustitución directa de este tipo sea correcta, la función que estás sustituyendo tiene que ser continua en ese valor. Por ejemplo, $\lim \limits_{x \to a} f(x) = f(\lim \limits_{x \to a} x) = f(a) $ sólo si $f(x)$ es continua en $x = \lim \limits_{x \to a} x=a$ .
Así que tu generalización sería correcta si la función externa $f(x)$ es continua en el valor del límite interior $x=\lim \limits_{t \to a} g(x)$ . Esto podría ser para cualquier valor de $a$ siempre que se garantice la continuidad.
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Si $f(x)$ es continua en $x=\lim_{t\to \infty}g(t)$ entonces la generalización es correcta.