Determinar una matriz conociendo sus autovalores y autovectores

Question

Leí preguntas similares, pero no pude encontrar una respuesta a esto:

¿Cómo se determina la matriz simétrica A si usted sabe:

$\lambda_1 = 1, \ eigenvector_1 = \pmatrix{1& 0&-1}^T;$

$\lambda_2 = -2, \ eigenvector_2 = \pmatrix{1& 1& 1}^T;$

$\lambda_3 = 2, \ eigenvector_3 = \pmatrix{-1& 2& -1}^T;$

Traté de resolverlo como un sistema de ecuaciones para cada línea, pero no funcionó de alguna manera.

Traté de encontrar el inverso de los vectores propios, pero trajo una matriz equivocada.

¿Sabes cómo resolverlo?

- ¡Gracias!

Answer 1

llame a los vectores propios $u_1, u_2$ y $u_3$ los vectores propios correspondientes a los valores propios $1, -2, $ y $2.$ luego $$A = 1\dfrac{u_1u_1^T}{u_1^Tu_1} - 2\dfrac{u_2u_2^T}{u_2^Tu_2} + 2\dfrac{u_3u_3^T}{u_3^Tu_3}$$

puede verificar esto calculando $Au_1, \cdots$. Esta expresión para $A$ se llama descomposición espectral de una matriz simétrica.

Answer 2

Una matriz $n\times n$ con vectores propios independientes $n$ se puede expresar como $A=PDP^{-1}$, donde $D$ es la matriz diagonal $\operatorname{diag}(\lambda_1\:\lambda_2\:\cdots\lambda_n)$ y $P$ es la matriz $(\vec{v}_1\:|\:\vec{v}_2\:|\cdots|\:\vec{v}_n)$ donde $v_i$ es el vector propio correspondiente a $\lambda_i$.

$$D=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-2&0\\0&0&2\end{pmatrix}$$ $$P=\begin{pmatrix}1&0&-1\\1&1&1\\-1&2&-1\end{pmatrix}$$