Curl de producto cruzado de dos vectores

Question

Quiero probar la siguiente identidad

$$\text{curl } \left(\textbf{F}\times \textbf{G}\right) = \textbf{F}\text{ div}\textbf{ G}- \textbf{G}\text{ div}\textbf{ F}+ \left(\textbf{G}\cdot \nabla \right)\textbf{F}- \left(\textbf{F}\cdot \nabla \right)\textbf{G}$$

¡Pero no sé cómo! Además, ¿qué significa $\textbf{F}\cdot \nabla $, no es la divergencia de $\textbf{F}$?

Answer 1

Aquí hay una prueba simple utilizando la notación de índice y la identidad BAC-CAB.

$ $ \begin{align} \nabla \times \left( {{\bf{A}} \times {\bf{B}}} \right) &= {{\bf{e}}_i} \times {\partial _i}\left( {{A_j}{{\bf{e}}_j} \times {B_k}{{\bf{e}}_k}} \right)\\ &= {\partial _i}\left( {{A_j}{B_k}} \right){{\bf{e}}_i} \times \left( {{{\bf{e}}_j} \times {{\bf{e}}_k}} \right)\\ &= \left( {{\partial _i}{A_j}{B_k} + {A_j}{\partial _i}{B_k}} \right)\left( {\left( {{{\bf{e}}_i} \cdot {{\bf{e}}_k}} \right){{\bf{e}}_j} - \left( {{{\bf{e}}_i} \cdot {{\bf{e}}_j}} \right){{\bf{e}}_k}} \right)\\ &= \left( {{\partial _i}{A_j}{B_k} + {A_j}{\partial _i}{B_k}} \right)\left( {{\delta _{ik}}{{\bf{e}}_j} - {\delta _{ij}}{{\bf{e}}_k}} \right)\\ &= {\partial _i}{A_j}{B_i}{{\bf{e}}_j} - {\partial _i}{A_i}{B_k}{{\bf{e}}_k} + {A_j}{\partial _i}{B_i}{{\bf{e}}_j} - {A_i}{\partial _i}{B_k}{{\bf{e}}_k}\\ &= {\bf{B}} \cdot \nabla {\bf{A}} - \left( {\nabla \cdot {\bf{A}}} \right){\bf{B}} + \left( {\nabla \cdot {\bf{B}}} \right){\bf{A}} - {\bf{A}} \cdot \nabla {\bf{B}} \end{align}$ $

Answer 2

La divergencia es $\nabla\cdot\mathbf{F}$ mientras que $(\mathbf{F}\cdot\nabla)$ es otra forma de escribir el operador derivado direccional. En notación de componentes tenemos

$$(\mathbf{F}\cdot\nabla) = \sum_{\alpha=1}^dF_\alpha\frac{\partial}{\partial x_\alpha}$$

que cuando se aplica a cada componente ($\beta$) de $\mathbf{G}$ da

$$\left((\mathbf{F}\cdot\nabla)\mathbf G\right)_\beta = \sum_{\alpha=1}^dF_\alpha\frac{\partial G_\beta}{\partial x_\alpha} $$

que es lo mismo que si consideramos $\mathbf{F}\cdot(\nabla\otimes\mathbf{G})$ donde $\nabla\otimes\mathbf{G}$ es

$$\left(\nabla\otimes\mathbf{G}\right)_{\alpha \beta}= \frac{\partial G_\beta}{\partial x_\alpha}$$