¿Encontrar el anti gradiente?

Question

Tengo esta pregunta que dice $f(x,y,z)$ tal que $\nabla f(x,y,z) = <2xy,2yz+x^2,y^2>$

La forma en que veo esto es que están preguntando de qué se puede tomar la derivada parcial con respecto a $x y$ y $z$ para que consigas que $\nabla f(x,y,z)$

Mi respuesta sería $f(x,y,z) = (x^2y+y^2z+x^2y,y^2z) $

Answer 1

$f$ se llama función potencial. Tenemos: $\nabla f = (f_x,f_y,f_z)$ . Así, $f_x = 2xy\implies f = \int 2xydx + g(y,z)= x^2y+ g(y,z)\implies f_y = x^2 + \dfrac{\partial g(y,z)}{\partial y}=2yz + x^2\implies g(y,z) = \int 2yzdy + h(z)= y^2z + h(z)\implies f_z = y^2 + h'(z) = y^2\implies h'(z) = 0 \implies h(z) = C\implies f(x,y,z) = x^2y + y^2z + C$ ( constante ).

Answer 2

He desarrollado una especie de algoritmo para mí al tomar el "antigradiente" y personalmente me agiliza el proceso.

Para una función de valor vectorial,

F \= grad(f) = (H,G,I)

Se empieza por ordenar todos los términos linealmente independientes (LIT) en F en tres categorías (o subconjuntos) p, q y r para cada H,G e I.

Eso es,

{H}={p,q,r} ,{G}={p,q,r}, {I}={p,q,r}

p -términos :

• Todas las LIT que dependen a su vez de las 2 variables que no estaban parte de la diferenciación parcial (variables independientes).

Para el componente H, los términos p tendrían que ser una función de (y,z) ya que la derivada parcial era con respecto a x.

q -términos :

• Todas las LIT que dependen de al menos 2 variables en las que una debe ser la variable dependiente.

o

• Todas las LIT que dependen de una sola de las variables independientes.

Para H, los términos q incluirían funciones de: (x,y), (x,z), (x,y,z), (z) o (y) Básicamente q es cualquier cosa que no sea p o r.

r -términos :

• Todas las LIT que dependen sólo de la variable dependiente.

Para H, los términos r son funciones de x.

Una vez que los tengas claros, sólo tienes que introducirlos en la siguiente fórmula.

∫ (Hp+Hq+Hr) dx + (Gq+Gr) dy + (Ir) dz

en esencia,

f = C1(x,y,z) + C2(y,z) + C3(z) + C4

Como curiosidad, esto me resultó especialmente útil para calcular f para un campo vectorial irrotacional en una integral de línea. Me ahorró mucho tiempo en los exámenes.