$T,U$ autoadjunto, $U$ definida positiva, entonces $TU$ sólo tiene valores propios reales

Question

Dejemos que $V$ sea un espacio de producto interno de dimensión finita sobre $\Bbb R$ .
Dejemos que $T$ y $U$ sea un operador lineal autoadjunto en $V$ .
Supongamos que $U$ es positiva definida.
Mostrar todos los valores propios de $TU$ son reales.

Dejemos que $\lambda$ sea un valor propio de $TU$ con el correspondiente vector propio $x$ . Entonces \begin{align} \left<\lambda x,x \right> &= \left< \left(TU\right)x,x\right> \\ &= \left< x,\left(TU\right)^* x\right> \\ &= \left<x,\left(U^* T^*\right)x \right> \\ &= \left<x, \left(U T \right) x \right> \\ &= \left< x,\left(TU\right)x\right> \tag{1} \\ &= \left< x,\lambda x\right>, \end{align} Así que, $\lambda$ es real.
No veo por qué el paso (1) se mantiene.
Es decir, cómo mostrar $TU$ es autoadjunto.

Answer 1

No puede demostrar que $TU$ es autoadjunto porque esto no es cierto en general. Deberías probar alguna otra forma de demostrar que todos los valores propios de $TU$ son reales. Por ejemplo, abusemos de las notaciones para que $T,U$ son también su respectiva representación matricial bajo la base canónica.

1. Como $U$ es positiva definida, puede ser diagonalizada ortogonalmente como $U=QDQ^T$ para alguna matriz diagonal positiva $D$ y alguna matriz ortogonal real $Q$ .
2. Por lo tanto, se puede tomar una raíz cuadrada autoadjunta de $U$ . Es decir, establecer $U^{1/2}=QD^{1/2}Q^T$ , donde $D^{1/2}$ es la raíz cuadrada de entrada de $D$ .
3. Demuestra que $TU$ es similar a $U^{1/2}TU^{1/2}$ y argumentar que esta última tiene valores propios reales.