¿Cómo puedo integrar $\frac{x+1}{\log x}$ ?

Question

¿Cómo puedo evaluar $I= \int_0^1 \frac{x+1}{\log x} dx$ ?

Esto parecía fácil a primera vista, pero no he podido resolverlo. ¿Hay alguna forma elemental de evaluar esta integral?

Answer 1

Supongo que querías decir $~I=\displaystyle\int_0^1\frac{x\color{red}-1}{\log x}~dx,~$ desde $~\displaystyle\int_0^1\frac{x\color{red}+1}{\log x}~dx~$ se desvía claramente en $1$ . La primera puede evaluarse por diferenciación bajo el signo integral, como Juan Theron's ahora la respuesta borrada lo demuestra tan bellamente. Alternativamente, también se podría utilizar $x=e^t$ y luego emplear La integral de Frullani que se basa en expresar el propio integrando como una segunda integral, e invirtiendo el orden de integración.