No tengo ni idea de cómo probarlo $$\{(z_0,\ldots,z_n)\in\mathbb{C}^{n+1} \quad| \quad z_0^d+z_1^2\ldots+z_n^2=0, \quad |z_0|^2+|z_1|^2\ldots+|z_n|^2=2\}$$ es un $(2n-1)$ -colector compacto.
Cómo dar los gráficos. Para $n=1$ y $d=2$ no distingue cuál es el 1-manifiesto?
Lo haces no quieren dar gráficos. Aquí tienes algunos consejos para empezar.
La compacidad debería derivarse inmediatamente del hecho de que una esfera en $\Bbb R^{2n+1}$ es compacto y los conjuntos de niveles de funciones continuas son cerrados.
En general, cada vez que se tiene un conjunto $X\subset\Bbb R^N$ que se define por medio de ecuaciones, se quiere utilizar esas ecuaciones para definir un mapeo suave $f\colon \Bbb R^N\to \Bbb R^s$ para que $X=f^{-1}(0)$ . Si comprueba que el rango de $df_x$ es $s$ por cada $x\in X$ entonces se deduce del teorema de la función implícita que $X$ es un $(N-s)$ -de las dimensiones del colector. En tu problema tienes una mezcla de holomorfos y no holomorfos, así que deberías convertir todo a coordenadas reales o, si estás familiarizado con el cálculo con $\partial/\partial z$ y $\partial/\partial\bar z$ se pueden escribir las funciones en términos de $z$ y $\bar z$ .
Dejemos que $(f, g):\mathbb{C^{n+1}}\to\mathbb{C}\times\mathbb{R}$ por
$(f, g)(z_0,\ldots, z_n)=(f(z_0,\ldots, z_n), g(z_0,\ldots, z_n))=(z_0^d+z_1^2\ldots+z_n^2, |z_0|^2+|z_1|^2\ldots+|z_n|^2)$
entonces $(0, 2)\in\mathbb{C}\times\mathbb{R}$ es un valor regular, $f$ es holomorfo y el jacobiano $J$ tienen el rango 3 en $\mathbb{C}$ .
Por lo tanto, $(f, g)^{-1}(0, 2)$ es un $2n-1$ colector, (colector de Brieskorn).
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