Pregunta sobre la definición de Oscilación

Question

La oscilación de $\omega_f(A)$ de $f$ en un conjunto $A$ para ser el número $$\omega_f(A)=\sup\limits_{x,y\in A}|f(x)-f(y)|=M_A(f)-m_A(f).$$

En la siguiente igualdad es donde me estoy rascando un poco la cabeza: $$\sup\limits_{x,y\in A}|f(x)-f(y)|=M_A(f)-m_A(f).$$
Donde $M_A(f)=\sup\limits_{x\in A} f(x)$ , $m_Af(x)=\inf\limits_{x\in A} f(x)$ y $f$ es una función acotada en $A$ .

Así que aquí está mi intento de demostrar la igualdad. Poniendo como definimos $M_A(f)$ y $m_A(f)$ juntos: $$M_A(f)-m_A(f)=\sup\limits_{x\in A} f(x)-\inf\limits_{x\in A} f(x).$$

Desde $f$ está acotado: $\inf\limits_{x \in A} f(x)=-\sup\limits_{x \in A} -f(x)$ .

Así que, $$M_A(f)-m_A(f)=\sup\limits_{x\in A} f(x)+\sup\limits_{x \in A} -f(x).$$ $$M_A(f)-m_A(f)=\sup\limits_{x\in A} f(x)-\sup\limits_{x \in A} f(x).$$

Me pregunto si esto es correcto hasta ahora o si me he desviado hacia la izquierda.

Answer 1

Eso no puede ser correcto, porque acabas de demostrar que $M_A(f)-m_A(f)=0$ (no se puede cambiar $\sup -f(x)$ en $-\sup f(x)$ ).

Dejemos que $S=\{|f(x)-f(y)| : x,y \in A\}$ . No es difícil demostrar que $M_A(f)-m_A(f)$ es un límite superior de $S$ : $$\mbox{*** $ M_A $ and $ m_A $ go here ***} \le f(x)-f(y) \le \mbox{*** $ M_A $ and $ m_A $ go here ***}$$

Supongamos ahora que $c$ es un límite superior de $S$ . Aquí hay una guía sin cuantificadores:

$$f(x)-f(y) \le c \\ f(x)-c \le f(y) \\ f(x)-c \le m_A(f) \\ f(x) \le m_A(f)+c \\ M_A(f) \le m_A(f)+c $$

Answer 2

Lo estás haciendo bien, hasta tu última línea.

A continuación, reescribiría como $$M_A(f)-m_A(f)=\sup\limits_{x\in A}f(x)+\sup\limits_{y\in A}-f(y).$$ Obsérvese también que podemos eliminar las barras de valor absoluto en la definición de $\omega_f(A)$ . (¿Por qué?) ¿Crees que puedes llegar al resto del camino desde allí?

Alternativamente, puede demostrar que $$M_A(f)=m_A(f)+\omega_f(A),$$ lo que puede resultar una tarea más sencilla.