Determinación de la transversalidad

Question

Considere la función $f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2$ dado por $f(x,y)=(x^2+x-2y^2+1,-x^2+y^2+3y-2)$ . Intento demostrar que la gráfica de esta función es transversal a la diagonal $\Delta=\{(x,y,x,y)\}$ en $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$ . Para ello, quiero demostrar que la suma de los espacios tangentes de cada una de las variedades en cada punto de su intersección es igual a $\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2$ .

Ahora, el espacio tangente de $f$ es la imagen del jacobiano de $f$ El jacobiano de $f$ viene dada por $df=\begin{bmatrix} 2x+1 & -4y \\ -2x & 2y+3 \end{bmatrix}$ . El espacio tangente de la gráfica de $f$ es la imagen de este mapa. Parece que $df$ siempre será de rango completo independientemente de las opciones de $x$ y $y$ .

Sin embargo, estoy confundido sobre cómo debe ser la intersección y cómo asegurarme de que la suma de los espacios tangentes es la deseada. ¿Qué debo hacer?

Answer 1

La intersección del gráfico de $f$ (Lo denotaré con $G(f)$ ) y $\Delta$ es el conjunto de todos los puntos de la diagonal $(x,y,x,y)$ tal que $$x=x^2+x-2y^2+1,\qquad y=-x^2+y^2+3y-2.$$ Resolviendo esto, se obtiene $$G(f)\cap\Delta=\{(1,1,1,1),(-1,1,-1,1)\}.$$ A partir de aquí es sólo álgebra lineal: Queremos demostrar que para cada $x\in G(f)\cap\Delta$ el mapa $T_xG(f)\oplus T_x\Delta\to T_x\mathbb R^4$ , $(u,v)\mapsto u+v$ tiene el rango completo. El espacio tangente de $G(f)$ en $(x,f(x))$ es el conjunto de todos los vectores $(u,df_xu)$ , donde $u\in T_x\mathbb R^2$ y el espacio tangente de $\Delta$ en $(x,x)$ es el conjunto de todos los vectores $(v,v)$ , donde $v\in T_x\mathbb R^2$ .

Por lo tanto, tenemos que demostrar que las matrices $$\begin{pmatrix}I_2& I_2\\df_{(1,1)}&I_2 \end{pmatrix}$$ y $$\begin{pmatrix}I_2& I_2\\df_{(-1,1)}&I_2 \end{pmatrix}$$ son de rango completo, donde $I_2$ es el $2\times 2$ matriz de identidad.