Solución aproximada de un sistema de ecuaciones polinómicas

Question

¿Cómo puedo resolver el siguiente sistema algebraico no lineal sobre el reales positivos - para $x,y,z$ - ¿tal vez con una aproximación adecuada para el término entre paréntesis?

\begin{align*} Q_1-d_1x-a_2a_3\left(\dfrac{xyz}{a_2cy+a_3z}\right) &= 0 \\ Q_2-d_2y-a_2xy &= 0 \\ Q_3-d_3z-a_3xz &= 0 \end{align*}

donde $a_2,a_3,d_1,d_2,d_3,Q_1,Q_2,Q_3 \in \mathbb{R}_{> 0}$ y $c \in \mathbb{Z}_{> 0}$ .

Mathematica no es capaz de resolver este sistema ni siquiera con las suposiciones sobre los parámetros.

Se agradecerá cualquier idea.

Answer 1

Tenga en cuenta que si $a_2 = 0$ o $a_3 = 0$ el sistema se desacopla y se puede resolver para $x, y, z$ por separado. Por lo tanto, se puede suponer que $a_2 \ne 0 \ne a_3$ .

En este caso, tras dividir la segunda ecuación por $a_2$ y la tercera ecuación por $a_3$ puede suponer que $a_2 = a_3 = 1$ . Resolver para $y$ y $z$ y sustituyendo en la primera ecuación se obtiene $$Q_1 - d_1x -\frac{Q_2 Q_3 x}{c Q_2 (d_3+x)+ Q_3 (d_2 +x)} = 0 $$ que se convierte en una ecuación cuadrática después de multiplicar por el denominador. Se puede resolver con la fórmula habitual.

Answer 2

Con el mismo espíritu que la respuesta de Hans Engler.

Empezando por las ecuaciones $$Q_1-d_1x-a_2a_3\left(\dfrac{xyz}{a_2cy+a_3z}\right) = 0\tag 1$$ $$Q_2-d_2y-a_2xy = 0 \tag 2$$ $$Q_3-d_3z-a_3xz = 0\tag 3$$ y utilizando la fuerza bruta, $y$ y $z$ se pueden eliminar y expresar como funciones de $x$ . Esto da $$y=\frac{{Q_2}}{{a_2} x+{d_2}}\tag 4$$ $$z=\frac{{Q_3}}{{a_3} x+{d_3}}\tag 5$$ Multiplicando $(1)$ por $(a_2cy+a_3z)$ y sustituyendo $y$ y $z$ por sus expresiones, terminamos con $$Ax^2+Bx+C=0$$ donde $$A=-{a_2}{a_3} {d_1} (c {Q_2}+{Q_3})$$ $$B={a_2} {a_3} (c {Q_1} {Q_2}+ {Q_1} {Q_3}- {Q_2} {Q_3})-d_1({a_2} c {d_3} {Q_2}-{a_3} {d_2} {Q_3})$$ $$C=-{Q_1} ({a_2} c {d_3} {Q_2}+{a_3} {d_2} {Q_3})$$