¿Cómo afecta este desplazamiento de fase en el espacio x a la posición de un espectro en el espacio k?

Question

Estoy trabajando en una nueva forma de detección de señales con la que espero recuperar tanto la amplitud como la fase de una señal muy pequeña. Sin embargo, esto requiere el uso de algunas matemáticas de Fourier que no comprendo del todo; lo he modelado numéricamente y parece funcionar, pero espero que alguien pueda arrojar algo de luz sobre si es posible resolver el problema analíticamente.

En esencia, todo se reduce a hacer una transformada de Fourier que se parece a esto:

$$ \mathcal{F}(k) = \int A_s(x)e^{i\phi_s(x)}\;A_re^{ia/x}\; e^{-ikx}\;dx $$

donde $A_s(x)e^{i\phi_s(x)}$ es la pequeña señal que intentamos recuperar (con amplitud $A_s(x)$ y fase $\phi_s(x)$ ). También hay una onda de referencia con amplitud constante $A_r$ y una fase que $inversely$ depende de $x$ . El objetivo de la onda de referencia es introducir un desplazamiento en la posición espectral de la señal para que pueda ser filtrada de otros trozos detectados que no queremos - más o menos una técnica de detección holográfica.

Así que mi pregunta es cómo, precisamente, la fase de la referencia (dada por $a/x$ ) afecta a la posición espectral de la señal? ¿Cómo afecta este desplazamiento de fase en $x$ -desplazamiento espacial del espectro en $k$ -¿Espacio? ¿Es algo que se pueda determinar analíticamente?

Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

Va a hacer algo más que desplazar el espectro. Un desplazamiento puro será causado por la modulación con una señal de amplitud constante y fase lineal $e^{jk_0 x}$ que tiene un ancho de banda infinitesimal. Su señal moduladora de $e^{ja/x}$ Sin embargo, no es tan sencillo. Una forma habitual de hacerse una idea de lo que es la modulación por $e^{j\phi(x)}$ hará a su señal es expresar $\phi(x)$ como una serie: $\phi(x) \approx a + bx + cx^2 + \cdots$ . De esta manera, cuando multiplicamos alguna señal de interés, digamos $z(x)$ por ella, obtenemos

$$ z(x) e^{j\phi(x)} \approx z(x) e^{ja} e^{jbx} e^{jcx^2} \cdots \\ \Rightarrow \mathcal{F}(z(x) e^{j\phi(x)}) \approx Z(k) \ast \delta(k-b) \ast e^{j\pi f^2/c} \ast \cdots = Z(k-b) \ast e^{j\pi f^2/c} \ast \cdots $$

De lo anterior se desprende que el desplazamiento de la masa vendrá dado por el término lineal en la representación en serie de $\phi(x)$ . El término cuadrático es normalmente asociada a un desenfoque, el término cúbico a una inclinación, y así sucesivamente. (Digo normalmente porque, por supuesto, se trata de la señal específica en cuestión).

Lo que ocurre con lo anterior es que para que sea exacto, necesitamos la representación de la serie $\phi(x)$ para ser precisos y con coeficientes que disminuyen rápidamente. Por ejemplo, si $dx^4$ juega un papel más importante en la aproximación de la serie que $bx$ entonces no podemos decir que el anterior desplazamiento espectral de $Z(k-b)$ será una buena aproximación.

Así que para su señal, realmente necesitaríamos algunos límites para tener una mejor idea. (Para empezar, $x=0$ no está definido). Tendría que asumir que la integral real es de la forma

$$ \int_{x_0-T/2}^{x_0+T/2} A_s(x) e^{i\phi_s(x)}\;A_re^{ia/x}\; e^{-ikx}\;\mathrm{d}x $$

La representación en serie de $1/x$ es un poco molesto cuando se trata de la convergencia, por lo que dependiendo del valor de $T$ , se podría obtener una aproximación exacta con unos pocos términos. La serie en el área de $x_0$ se verá como

$$ a/x \vert _{x_0} \approx \sum_n (-1)^n {{(x-x_0)^n} \over {x_0^{n+1}} } $$

Habrá que ver si $T$ es lo suficientemente pequeño como para obtener una aproximación de segundo o tercer orden. Si es así, entonces se puede aplicar el anlaysis anterior para predecir lo que $e^{ja/x}$ hará a su señal.