Homotopía de trayectorias concatenadas

Question

Si tengo dos rutas concatenadas $f_{1} \cdot g_{1}$ y $f_{2} \cdot g_{2}$ donde $f_{1} \cong f_{2}$ y $g_{1} \cong g_{2}$ ¿es justo decir que

$$f_{1} \cdot g_{1} \cong f_{2} \cdot g_{2}$$

por la homotopía $(f \cdot g)_{t} = (1-t)(f_{1} \cdot g_{1})+t(f_{2} \cdot g_{2})$ ?

Answer 1

Sugerencia La pregunta es: ¿se puede considerar para cada uno de ellos $t \in I$ la composición (del camino) $H_t := F_t*G_t$ donde $F: f_1 \simeq f_2$ y $G: g_1 \simeq g_2$ . Demostrar que esto define una homotopía de caminos: para justificar el "pegado" de las funciones, utilizar que tanto $F$ y $G$ fijan los extremos de sus correspondientes trayectorias.