¿Cuál es la diferencia entre condicionar una variable y condicionar un álgebra sigma?

Question

Pregunta en el título. ¿Cómo son $E(X \mid Y)$ y $E(X \mid \Omega)$ ¿Relacionado? ¿Hay alguna forma de pasar de una a otra? ¿Cómo podría $\Omega$ estar relacionado con $Y$ ?

Answer 1

$E[X\mid Y]$ es la notación abreviada para $E[X\mid \sigma(Y)]$ donde $\sigma(Y)$ es el más pequeño $\sigma$ -hacer álgebra $Y$ medible.