medibles conjuntos no dependiendo incluso de coordenadas

Question

Deje $A\subset\{0,1\}^\omega$ ser un apreciable conjunto (w.r.t. la costumbre borel sigma álgebra) que no depende de ninguna incluso de coordenadas (es decir, si $x\in A$ $x$ $y$ está de acuerdo, excepto en un número finito de incluso las coordenadas, a continuación,$y\in A$).

Es cierto que $A$ pertenece a la sigma-álgebra generada por todos los impares coordenadas + la cola sigma álgebra?

Para aclarar: la cola de sigma álgebra consiste de todos los eventos que no dependen de ninguna coordenada.

A mí me parece que esto debe ser algo de fácil/la bien conocida teoría de la medida fact/contraejemplo, pero tal vez estoy equivocado? Sugerencias sobre dónde buscar una respuesta sería bienvenido.

Tenga en cuenta que es bien conocido el de esta declaración es falsa si el suelo espacio sería $[0,1]^\omega$.

Answer 1

Escribir $\{0,1\}^\mathbb{N}$ como producto cartesiano $\{0,1\}^E \times \{0,1\}^O$ donde $E$ es la iguala y $O$ es de las probabilidades. Su habitual sigma-álgebra es el producto sigma-álgebra que pasa con este producto.

Así que tenemos algo como esto: Escribir $\otimes$ para el producto sigma-álgebra. A continuación, se $$\mathcal{F}\otimes\left(\bigcap_{k=1}^\infty\mathcal{G}\_k\right) = \bigcap_{k=1}^\infty\left(\mathcal{F}\otimes\mathcal{G}\_k\right)$$