Separación del espacio normado.

Question

Si $X$ es un espacio normado y $Y$ es el subespacio de $X^*$ Necesito demostrar que cada $weak^*$ subconjunto denso de $X^*$ separa los puntos en $x$ Para ello he mostrado Y separa $0$ y $X$ pero cómo puedo demostrar que si su separa 0 y X entonces está separando $x,y$ para $x\neq y$ .

Answer 1

Si ha demostrado que $Y$ puede separar el cero de todos los demás puntos de $X$ simplemente ha demostrado que $Y$ separa $X$ . Porque si tomas $x \neq y$ en $X$ entonces $y-x \neq 0$ por lo que hay un $f \in Y$ tal que $f(0) \neq f(x-y)$ . Desde $f$ es lineal, finalmente tenemos $f(x) \neq f(y)$ .