¿Cómo ha cambiado "lo que todo matemático debe saber"?

Question

Así que me preguntaba: ¿hay alguna diferencia general en la naturaleza de "lo que todo matemático debe saber" en los últimos 50-60 años? No me refiero sólo a pequeños cambios en los que se añaden nuevos resultados a los antiguos, sino a cambios fundamentales en la naturaleza de los conocimientos y habilidades que se espera que la gente adquiera durante o antes de los estudios de posgrado.

Por poner un ejemplo (con el que otros pueden no estar de acuerdo), un cambio secular (aquí, secular significa "tendencia en el tiempo") parece ser que se espera que los matemáticos de hoy en día se sientan mucho más cómodos al adoptar una nueva abstracción, o una nueva formulación abstracta de una idea existente, incluso si el proceso de abstracción se encuentra fuera del dominio de la experiencia de esa persona. Por ejemplo, incluso alguien que sabe poco de teoría de categorías no se esperaría que saliera disparado si se enfrentara a una interpretación de un tema de su campo en términos de algunas categorías nuevas, repletas de objetos, morfismos, funtores y transformaciones naturales. Del mismo modo, la gente no pestañearía ante una nueva estructura algebraica que se comporta como los grupos o los anillos, pero que es un poco diferente.

Mi sensación sería que las expectativas y las capacidades en este sentido han mejorado en los últimos 50-60 años, en parte por el desarrollo de materias "abstractas sin sentido" como la teoría de categorías, la lógica de primer orden, la teoría de modelos, el álgebra universal, etc., y en parte por el creciente nivel de abstracción y la necesidad de conectar marcos e ideas incluso en el resto de las matemáticas. No sé mucho sobre cómo se enseñaban las matemáticas hace treinta años, pero he conjeturado lo anterior comparando a matemáticos profesionales de alto nivel que probablemente fueron a la escuela de posgrado hace treinta años con los estudiantes de posgrado de hoy.

Algunas otras suposiciones:

1. Hoy en día, se espera que la gente tenga una idea mucho más rápida de un mayor número de temas, y menos una comprensión profunda de las "Grandes Pruebas" en áreas fuera de su subdominio de experiencia. Básicamente, el enfoque de los Grandes Libros o las Grandes Pruebas para el aprendizaje puede estar decayendo. El rápido aumento de la disponibilidad de libros, revistas e información a través de Internet (junto con la existencia de herramientas como Math Overflow) puede estar haciendo que sea más rentable saber un poco de todo en lugar de dominar los grandes teoremas fuera de la propia área de especialización.
2. Además, es probable que cada vez sea menos necesario dominar varios idiomas, sobre todo para quienes utilizan el inglés como lengua principal de investigación. Dos razones: en primer lugar, muchos materiales que antes sólo estaban disponibles en idiomas distintos del inglés ahora están disponibles como traducciones al inglés, y en segundo lugar, las herramientas de traducción están mucho más disponibles y son más fáciles de usar, lo que reduce las ventajas del dominio de varios idiomas.

Todo esto son conjeturas. Se agradecería mucho la información contradictoria y las ideas sobre otras posibles tendencias seculares.

NOTA: ¡Esto podría ser demasiado suave para Math Overflow! Moderadores, por favor siéntanse libres de cerrarlo si es así.

Answer 1

Una cosa que estoy seguro de que todo están de acuerdo: ¡todo matemático debería conocer algún tipo de TeX!

Answer 2

A medida que las matemáticas crecen y se diversifican más allá de lo imaginable, seguramente la colección de temas que cada matemático debe saber que se está reduciendo rápidamente. Se puede llevar a cabo una investigación matemática seria en un área mientras se sabe muy poco de otra, incluso cuando muchos matemáticos consideran que esa otra área es fundamentalmente importante. Por lo tanto, la suposición en la pregunta de que hay algo sustancial en la lista de temas que TODOS los matemáticos deben conocer me parece injustificada. Por supuesto, el trabajo interdisciplinar que conecta áreas de investigación muy separadas es a menudo muy importante (además de difícil), pero también se hacen muchos progresos dentro de las distintas especialidades sin interactuar con otras áreas. Pero que alguien insista en que todo matemático debe conocer la teoría de categorías, por ejemplo, o la homología, parece mostrar una concepción tan estrecha de las matemáticas como insistir en que todo matemático debe saber programar. Se han producido profundos avances matemáticos en materias que no requieren ninguno de esos conocimientos. En igualdad de condiciones, por supuesto, a un matemático le convendría saber algo de teoría de categorías o lógica u homología o programación, pero en la práctica, todas las demás cosas no son iguales, ya que todos debemos elegir cómo emplear mejor nuestro tiempo, eligiendo los temas que nos parecen más relevantes para la investigación que queremos emprender.

En definitiva, necesitamos todo tipo de matemáticos: algunos profundamente especializados, otros que conozcan varias áreas para construir los puentes que puedan conectar temas diversos, otros que sepan comunicar ideas de un área a otra, y otros que sepan comunicar las ideas profundas de un área a los futuros especialistas de esa área, o al público. Quizá la intersección de los conocimientos de todas estas personas sea más pequeña de lo que se piensa, y esto no es necesariamente un problema.

La investigación matemática contemporánea es, en efecto, una gran carpa, como dijo Charlie Frohman en los comentarios.

Answer 3

Desaconsejo utilizar MathOverflow como guía de lo que la mayoría de los jóvenes matemáticos hacen o deben o aprenden. La última vez que vi un sesgo tan fuerte hacia las "tonterías abstractas" fue cuando era estudiante de posgrado en Harvard (a principios de los 80), donde si querías hacer geometría diferencial en lugar de categorías derivadas, te sentías como un ciudadano de segunda clase.

Estoy de acuerdo con Steve Huntsman en que cualquier estudiante de doctorado en matemáticas debería dedicar al menos algún tiempo a desarrollar algunas habilidades en el uso práctico de las matemáticas, incluyendo algo de programación. El hecho es que la mayoría de los doctores no acaban en una universidad de investigación, así que si quieres tener más opciones que enseñar en una escuela de nivel inferior, estas habilidades prácticas son extremadamente útiles. Sin duda puedes desarrollarlas más adelante, pero tener al menos una idea de lo que implica es muy útil.

Más allá de eso, hay muchas, muchas direcciones a las que dirigirse, y cada una tiene sus propios requisitos sobre lo que hay que saber. Hoy en día, una cierta facilidad para la abstracción puede ser bastante útil, pero no es esencial. Saber muchas cosas diferentes también hace que sea mucho más fácil interactuar con una gama más amplia de matemáticos. Esto puede ser extremadamente útil para tu propia investigación, porque te tropezarás con conexiones e intersecciones inesperadas con trabajos que parecen no tener ninguna relación.

La mayoría de nosotros no podemos aprender todo lo que queremos, así que tenemos que elegir en qué nos vamos a centrar. Esto es difícil de hacer, pero desarrollar el juicio adecuado para ello es una de las etapas más importantes para convertirse en un matemático investigador. No puedes limitarte a seguir el consejo de otra persona; tienes que aprender a resolverlo, basándote en todas las opiniones diferentes y contradictorias que recibirás.

Answer 4

Muchas, muchas cosas han cambiado en los últimos 60 años. Un matemático de los años cincuenta (en Europa) debía saber geometría descriptiva, mecánica racional, quizá algo de astronomía y mucha física. Se suponía que debía saber calcular primitivas bastante difíciles y tener muchos trucos al alcance de la mano para comprobar la convergencia de una serie. El uso magistral de las tablas de logaritmos y de las reglas de cálculo se daba por descontado. La nomografía, la representación gráfica de las relaciones matemáticas (supongo que hasta la palabra se ha olvidado), era una opción popular, etc.

Answer 5

La pregunta general sobre lo que debe saber un matemático profesional fue planteada por Phil Davis al final de este artículo . Barry Mazur publicó una breve respuesta hace un año.

Soy demasiado joven para tener una imagen de esta cuestión hace 30 años. Tal vez la de Bourbaki Elementos de matemáticas compuesto por una lista adecuada. Alguien que tenga la edad suficiente para saberlo debería corregirme.