Gimnasia de índices y representación de bra-kets como tensores covariantes y contravariantes

Question

Estoy tratando de averiguar cómo escribir, en notación de Einstein, así como escoger elementos de $$\langle A|[\mu]|B\rangle \langle X|[\nu]|Y\rangle$$

donde $[\mu] = \begin{bmatrix} \mu_{11} & \mu_{12} \\ \mu_{21} & \mu_{22} \end{bmatrix}$ , $[\nu] = \begin{bmatrix} \nu_{11} & \nu_{12} \\ \nu_{21} & \nu_{22} \end{bmatrix}$ , $\langle A| = \begin{bmatrix} a_{1} \, a_{2}\\ \end{bmatrix}$ , $|B\rangle = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix}$ , $\langle X| = \begin{bmatrix} x_{1}\, x_{2}\\ \end{bmatrix}$ , $|Y\rangle = \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \end{bmatrix}$

Ahora, por la asociatividad de la multiplicación de matrices, debería obtener la misma respuesta sin importar en qué orden multiplique; así que lo descompongo de la siguiente manera: $(\langle A|[\mu])(|B\rangle \langle X|)([\nu]|Y\rangle)$ Donde $|B\rangle \langle X|$ es el producto tensorial $|B\rangle \otimes \langle X|$

Después de algunas multiplicaciones, en notación de Einstein obtengo

$\langle A|[\mu] = \begin{bmatrix} a_{1}\mu_{11}+ a_{2}\mu_{21} & a_{1}\mu_{12}+ a_{2}\mu_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{i}\mu_{i1} & a_{j}\mu_{j2} \end{bmatrix}$ en notación Einstein.

Igualmente: $[\nu] |Y\rangle = \begin{bmatrix} \nu_{11} & \nu_{12} \\ \nu_{21} & \nu_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \nu_{11}b_{1} + \nu_{12}b_{2} \\ \nu_{21}b_{1} + \nu_{22}b_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \nu_{1r}b_{r} \\ \nu_{2s}b_{s} \end{bmatrix} $

$ \begin{bmatrix} a_{i}\mu_{i1} & a_{j}\mu_{j2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{1}x_{1} & b_{1}x_{2} \\ b_{2}x_{1} & b_{2}x_{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \nu_{1r}b_{r} \\ \nu_{2s}b_{s} \end{bmatrix} = $ $$(a_{i}\mu_{i1}b_{1}x_{1}+a_{j}\mu_{j2}b_{2}x_{1})\nu_{1k}b_{k}+ (a_{i}\mu_{i1}b_{1}x_{2}+a_{j}\mu_{j2}b_{2}x_{2})\nu_{2r}b_{r}$$

??

Se está volviendo una locura con los índices: ¿puedo contraer más este tensor?

Además, ¿sería útil tratar de denotar $\langle X|$ es un vector covariante (fila) y $|Z\rangle$ es el vector contravariante (columna)? Podríamos decir $X_{\mu}$ y $Z^{\nu}$ respectivamente, donde $X_{1} = x_1, X_{2}=x_2$ y $Z^{1} = z^1, Z^{2} = z^2$ .

Answer 1

Lo que ha hecho es correcto, pero todavía no está en la forma más pequeña posible. De hecho, con el tiempo se convertirá en $a_i\mu_{ij}b_jx_k\nu_{kl}y_l$ . ¿Ves cómo funciona esto? Al menos trata de ampliar lo que escribí para ver que concuerda con lo que tienes.

Te mostraré en qué se convierten algunas cosas en notación de índice: Supongamos que $M$ y $N$ son matrices y $\left|X\right\rangle$ y $\left|Y\right\rangle$ son vectores. Incluso utilizaré índices ascendentes y descendentes para las columnas y filas.

$$\begin{align} M &\longmapsto M^i_{\,j}\\ \left|X\right\rangle &\longmapsto X^i\\ \left\langle X\right|&\longmapsto \overline{X}_i \end{align}$$

La barra nos recuerda que una conjugación compleja ocurre cuando usamos la conjugación hermitiana para convertir $\left|X\right\rangle$ en $\left\langle X\right|$ . En otras palabras $\left|X\right\rangle=\begin{bmatrix} X^1 \\ X^2\end{bmatrix}$ así que $\left\langle X\right|=\begin{bmatrix} \overline {X^1} & \overline {X^2}\end{bmatrix}$ por lo que definimos $\overline X_i=\overline{X^i}$ . Al mover el índice fuera de la barra se cambia de superior a inferior. (Arriba tenía un sujetador $\left\langle A\right|$ que escribió en coordenadas como $\begin{bmatrix} a_1 & a_2\end{bmatrix}$ . Esto está bien, y significa que escribiríamos $\left\langle A\right|$ en notación de índice como $a_i$ pero si hubiera sido yo habría dicho que $\left|A\right\rangle=\begin{bmatrix} a^1 \\ a^2\end{bmatrix}$ y entonces habría tenido $\left\langle A\right|=\begin{bmatrix} \overline{a^1} & \overline{a^2}\end{bmatrix}$ por lo que lo habría escrito como $\bar a_i$ en notación de índice. ¿Tiene sentido?) Continuando con nuestra lista: $$\begin{align} MN &\longmapsto M^i_{\,j}N^j_{\,k}\\ M\left| X\right\rangle &\longmapsto M^i_{\,j}X^j\\ \left\langle X\mid Y\right\rangle &\longmapsto \overline{X}_i Y^i\\ \left| Y\right\rangle\left\langle X\right|&\longmapsto Y^i\overline{X}_j \end{align}$$ Su expresión: $$\left\langle A\mid \mu\mid B\right\rangle\left\langle X\mid \nu\mid Y\right\rangle\longmapsto \overline A_i \:\mu^i_{\,j}\:B^j\:\overline X_k \:\nu^k_{\,l}\:Y^l$$ Habría pensado en esto como en juntar $$\begin{align} \left\langle A\mid \mu\mid B\right\rangle&\longmapsto \overline A_i \:\mu^i_{\,j}\:B^j\\ \left\langle X\mid \nu\mid Y\right\rangle&\longmapsto \overline X_k \:\nu^k_{\,l}\:Y^l\\ \end{align}$$ Pero la forma en que lo has hecho en tu post es igualmente válida: $$\begin{align} \left\langle A\right| \mu &\longmapsto \overline A_i \:\mu^i_{\,j}\\ \left| B\right\rangle\left\langle X\right| &\longmapsto B^j\:\overline X_k\\ \nu\left| Y\right\rangle &\longmapsto \nu^k_{\,l}\:Y^l \end{align}$$ Se unen para dar lo mismo.

Answer 2

Parece que estás MUY confundido con la notación de bra-ket.

• La multiplicación de matrices no es conmutativa, por lo que es falso que "debería obtener la misma respuesta independientemente del orden en que multiplique".
• $|B\rangle \langle X|$ con la notación estándar no denota un producto tensorial
• La covarianza y la contravarianza son muy diferentes y tienen que ver con la geometría. Dado que los estados cuánticos en la QM introductoria regular no relativista no tienen necesariamente una geometría asociada (es decir, tus estados podrían ser "arriba" y "abajo", o "0" y "1", o "polarizado a la izquierda" o "polarizado a la derecha") no esperas covarianza/contravarianza.
• No puedes escribir cosas en forma de matriz sin elegir primero una base.

Realmente te sugiero que leas otra introducción a la notación de Dirac y la repases con detenimiento. También hay libros como "Schaum's outline of Tensor Analysis" (creo que era ese) cuyo primer capítulo tiene mucha práctica con la gimnasia de los índices que debería ayudarte. La idea es EVITAR escribir toda la matriz, y sólo terminar con expresiones como $a_{ij}=b_{ik}c_{km}d_{mj}$ denota el producto de tres matrices. ¡debe ser sucinto! Si te encuentras escribiendo $k_{1,1}b_{1,2}$ etc con números explícitos, es casi seguro que lo estás haciendo de mala manera.