Derivada covariante de vectores base

Question

Considere la derivada covariante estándar de la Geometría Riemanniana (libre de torsión con compatibilidad métrica) en la dirección $\frac{\partial}{\partial x^i}$. La aplicación a un campo vectorial se denotará como $\nabla_i \vec{v} $. Para los propósitos de esta pregunta, me restringiré al espacio plano (a saber, el plano).

Muchas fuentes introductorias definen inicialmente los Símbolos de Christoffel por la relación

$$\frac{\partial \vec{\mathbf{e_i}}}{\partial x^j} = \Gamma^k_{ij} \vec{\mathbf{e_k}}$$

donde $\vec{\mathbf{e_i}} = \frac{\partial}{\partial x^i}$. La derivada covariante entonces se deriva de manera bastante simple para campos vectoriales contravariantes y covariantes como

$$\nabla_i \vec{v} =\bigg( \frac{\partial v^j}{ \partial x^i } + \Gamma^j_{ik} v^k\bigg) \frac{\partial}{\partial x^j}$$

$$\mbox{y}$$ $$\nabla_i \alpha =\bigg( \frac{\partial \alpha_j}{ \partial x^i } - \Gamma^k_{ij} \alpha_k\bigg) dx^j$$ respectivamente. Ahora consideremos la derivada covariante del vector de base covariante. Observemos

$$\nabla_i \vec{\mathbf{e_j}} = \frac{\partial \vec{\mathbf{e_j}}}{ \partial x^i } - \Gamma^k_{ij} \vec{\mathbf{e_k}}$$ $$\mbox{y por nuestra definición de los Símbolos de Christoffel con índices inferiores simétricos}$$

$$ \nabla_i \vec{\mathbf{e_j}} = \Gamma^k_{ij} \vec{\mathbf{e_k}} - \Gamma^k_{ij} \vec{\mathbf{e_k}} = \vec{0} \mbox{ .}$$

Cuando estaba en mi primer curso de tensores y Geometría Riemanniana, no llegamos al mismo resultado en el plano. No usamos la definición anterior de los Símbolos de Christoffel, sino que los definimos por la ecuación geodésica (que obtuvimos usando la Variación de G$\hat{\text{a}}$teaux). Soy consciente de que la definición intrínseca de los Símbolos de Christoffel

$$\Gamma^k_{ij} = \frac{1}{2}g^{k\ell}\bigg[\frac{\partial g_i\ell}{\partial x^j} + \frac{\partial g_j\ell}{\partial x^i} - \frac{\partial g_ij}{\partial x^\ell}\bigg]$$

es equivalente a la primera definición que proporcioné. En nuestra clase, utilizamos el siguiente argumento para la derivada del vector de base covariante.

Supongamos que todos los componentes de $v^i $ son $0$ excepto por el componente $i^{\text{th}}$ que es $1$. Es entonces claro que $\vec{v} = v^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ es la forma invariante (de rango $0$) del vector de base. La derivada covariante sería entonces

$$\nabla_i \vec{v} = \nabla_i\bigg( \frac{\partial}{\partial x^k} \bigg) = \bigg( \frac{\partial v^j}{ \partial x^i } + \Gamma^j_{ik} v^k\bigg) \frac{\partial}{\partial x^j} = \bigg( 0 + \Gamma^j_{ik} \bigg) \frac{\partial}{\partial x^j} = \Gamma^j_{ik} \frac{\partial}{\partial x^j}$$ lo cual claramente no es idénticamente $\vec{0}$.

Es en este punto donde recurro a la interpretación física/geométrica de la derivada covariante: el transporte paralelo. Me sumergí en muchos ejemplos incluyendo el siguiente ejemplo del sistema de coordenadas polares en el plano (un espacio agradable y plano).

Considere un campo vectorial $V$ en el sistema de coordenadas polares junto con los dos puntos cercanos $p$ en $(r,\theta)$ y $p'$ en $(r, \theta + \Delta \theta)$. Se dice que la derivada covariante (con respecto al vector de base covariante de theta) es el resultado de transportar paralelamente el vector $v' = V(p')$ a lo largo de la dirección de una curva corta hacia el punto $p$ y luego restando los vectores $v'_{||} - v$ donde $v'_{||}$ es el vector transportado $v'$ en el punto $p$. Nota que soy consciente de que también hay una división por un parámetro de longitud del camino y un límite en la definición, pero esta noción debería funcionar por el bien del argumento.

En este punto dibujé un círculo y consideré la derivada covariante $\nabla_\theta \bigg( \frac{\partial}{\partial \theta} \bigg)$. Esta derivada debería (si entiendo correctamente) seguir la tasa de cambio del vector de base $\frac{\partial}{\partial \theta}$ usando transportar paralelamente a lo largo del círculo en el cual tanto $p$ como $p'$ residen. Si una de las formulaciones anteriores es correcta, dará como resultado $\vec0$ o $-r\frac{\partial}{\partial r}$. Al dibujar esto, es bastante obvio que el vector $v'_{||}$ apunta ligeramente hacia adentro en este círculo. Los vectores deben tener la misma longitud ya que ambos fueron generados por el campo vectorial $\frac{\partial}{\partial \theta}$ en el mismo radio y por lo tanto la resta vectorial $v'_{||} - v$ apunta directamente hacia adentro en la dirección $-\frac{\partial}{\partial r}$. ¡Esto parece confirmar la segunda formulación! También es intuitivamente fácil ver en este ejemplo que a medida que crece el radio, la longitud del vector $\frac{\partial}{\partial \theta}$ también crece y por lo tanto la proyección de $v'_{||}$ en $-\frac{\partial}{\partial r}$ también aumentaría.

¡PRESTO! La intuición física coincide con la segunda formulación. Puede ser útil notar que soy consciente de que la primera definición que proporcioné para los Símbolos de Christoffel no se extiende bien a la geometría intrínseca de las superficies embebidas. Dicho esto, el plano es agradable y plano y exactamente para lo que parece estar hecha esta definición (sin mencionar el hecho de que la definición aparece en derivaciones de la derivada covariante para cualquier objeto diferenciable que conozco).

¿Cómo puedo rectificar estas nociones aparentemente contradictorias de diferenciar vectores base en espacio plano o en general?

Si a alguien le interesa, aquí es donde vi por primera vez que la derivada covariante manda a los vectores base a cero en espacio plano.

Answer 1

$$\newcommand\ee{\vec{e}} \newcommand\vv{\vec{v}} \newcommand\XX{\vec{X}} $$

Permítame comenzar aclarando su ejemplo.

Dejemos que $S$ sea el círculo unitario incrustado en el plano con la parametrización habitual $\phi(\theta)$ y que $\XX$ sea un campo vectorial en $S$ . Esto significa que cada $\XX(\theta)$ está en el espacio tangente de $\phi(\theta)$ que es el espacio unidimensional abarcado por $(-\sin\theta, \cos\theta) = \vec{\phi'}(\theta)$ .

Primero motivemos lo que queremos decir con la derivada covariante. Hasta ahora, $\XX$ es un bonito mapa de $[0,2\pi)$ a las líneas tangentes de $S$ . En general, su derivado ordinario $\XX'$ va a estar en $\mathbb{R}^2$ . Podemos escribir $\XX(\theta) = f(\theta)\vec{\phi'}(\theta)$ , donde $f$ es una bonita función de valor real. Entonces $\XX'(\theta) = f'(\theta)\vec{\phi'}(\theta)+f(\theta)\vec{\phi''}(\theta)$ , y observamos que $\mathbb{R}^2$ está atravesado por $\vec{\phi'}(\theta)$ y $\vec{\phi''}(\theta)$ . Cuando queremos estudiar $S$ intrínsecamente, esta diferenciación no es lo suficientemente buena, porque puede darnos información que se encuentra fuera de las líneas tangentes. Así que, en su lugar, tomamos su proyección. Sea $\pi(\theta)$ sea la proyección sobre el subespacio abarcado por $\vec{\phi'}(\theta)$ , y en su lugar considerar $\pi(\theta) \circ \XX'(\theta)$ . Llamamos a esta nueva función $\nabla_\theta \XX$ ; sólo nos habla de la parte de la derivada de $X$ que se encuentra a lo largo de $S$ .

Ahora pasamos al problema del transporte paralelo. Supongamos ahora que $\XX(0)$ es un vector tangente a $\phi(0)$ . Queremos hacerlo rodar $S$ para obtener un vector tangente $\XX(\theta)$ en $\phi(\theta)$ que es en cierto sentido equivalente. Ahora claramente podemos tomar $\XX(\theta) = |\XX(0)|\vec{\phi'}(\theta)$ pero vale la pena elaborar la maquinaria que hay detrás de esta operación intuitiva. La clave aquí es que nuestro rodamiento es, en cierto sentido, máximamente intrínseco. En cada paso, la parte intrínseca del vector no cambia. Para formalizar esto, decimos que $\nabla_\theta \XX(\theta) = 0$ . Esto define el transporte paralelo de $\XX(0)$ .

¿Y si en lugar de partir de una derivada intrínseca, empezamos con una noción de transporte paralelo? ¿Podemos recuperar una derivada intrínseca? Supongamos que $\psi(\theta)$ es el mapa que da el transporte paralelo de los vectores tangentes en $\phi(0)$ al espacio tangente en $\phi(\theta)$ . De hecho, esto es lineal. Sea $\XX(\theta)$ sea un campo vectorial en $S$ . Queremos recuperar la componente intrínseca del cambio infinito de $\XX$ en $\theta=0$ . Para ello, dejemos que $\delta>0$ ser un pequeño cambio en $\theta$ . ¿Podemos recuperar el cambio intrínseco de $\XX(\delta)$ de $\XX(0)$ ? Bueno, sabemos lo que $\XX(\delta)$ debería parecer si no hay ningún cambio intrínseco: es sólo el transporte paralelo $\psi(\delta)(\XX(0))$ . Así, recuperamos el cambio intrínseco de $\XX(\delta)$ como la diferencia entre $\XX(\delta)$ y el transporte paralelo de $\XX(0)$ . Es decir, recuperamos la derivada covariante como $$\nabla_\theta \XX(0) = \lim_{\delta \to 0} \frac{\XX(\delta)-\psi(\delta)(\XX(0))}{\delta}.$$

Nótese aquí que no tiene ningún sentido que la derivada covariante en el círculo esté en el $\frac{\partial}{\partial r}$ ya que ésta es extrínseca al círculo, y la derivada covariante sólo da información intrínseca.

Ahora pasamos al caso general. Sea $M$ sea una variedad riemanniana, $g$ su métrica, y $\nabla$ su conexión. La condición de ausencia de torsión especifica que para cualquier campo vectorial $X$ y $Y$ en $M$ , $\nabla_X\nabla_Y - \nabla_Y\nabla_X = [X,Y]$ . Aquí $[X,Y]$ es el soporte de Lie de los campos vectoriales.

Para trabajar en coordenadas, fije un punto $p$ y un barrio abierto $U$ de $p$ con funciones de coordenadas $x^i$ . Denotamos por $\ee_i$ el $i$ El vector tangente con respecto a estas coordenadas. Lo primero que observamos es que $[\ee_i,\ee_j] = 0$ simplemente por la conmutatividad de la derivada parcial ordinaria. No necesitamos ninguna maquinaria de símbolos de Christoffel para derivar entonces que $\nabla_{\ee_j}\ee_i = \nabla_{\ee_j}\ee_i$ es una consecuencia directa de la condición de ausencia de torsión.

Ahora definimos los símbolos $\gamma^k_{ij}$ tal que $\nabla_{\ee_i}\ee_j = \gamma^k_{ij}\ee_k.$ Nótese que los símbolos de Christoffel son los coeficientes de la derivada covariante, no de la derivada ordinaria. Ten cuidado con la notación.

$$\frac{\partial \vec{\mathbf{e_i}}}{\partial x^j}=\Gamma^k_{ij}\vec{\mathbf{e_k}}$$

Dejemos que $\vv$ sea un campo vectorial, que viene dado en componentes como $v^i\ee_i$ . Entonces tenemos que $$\nabla_{\ee_i}\vv = \nabla_{\ee_i}(v^j\ee_j) = (\nabla_{\ee_i}v^j)\ee_j + v^j(\nabla_{\ee_i}\ee_j) = \frac{\partial v^j}{\partial x^i}\ee_j + v^j\gamma^k_{ij}\ee_k.$$

Supongamos ahora que $\vv$ es igual a $\ee_l$ Así que $v^l = 1$ y $v^i=0$ de lo contrario. Entonces obtenemos que $\frac{\partial v^i}{\partial x^j} = 0$ y, por tanto, que $$\nabla_{\ee_i}\vv = \gamma^k_{il}\ee_k = \nabla_{\ee_i}\ee_l.$$

Esto es una tautología, no hemos recuperado ninguna información nueva.

Aquí es donde usted comete el error en su derivación.

consideremos la derivada covariante del vector base covariante. Observemos

$$\nabla_i \vec{\mathbf{e_j}} = \frac{\partial \vec{\mathbf{e_j}}}{ \partial x^i } - \Gamma^k_{ij} \vec{\mathbf{e_k}}$$

Aquí has puesto un menos en lugar de un más en la parte derecha, que debería decir: $$= \frac{\partial \vec{\mathbf{e_j}}}{ \partial x^i } + \Gamma^k_{ij} \vec{\mathbf{e_k}}$$

Arreglando esto en los siguientes pasos, y utilizando la definición corregida de los símbolos de Christoffel, se obtendría:

$$ \nabla_i \vec{\mathbf{e_j}} = \frac{\partial \vec{\mathbf{e_j}}}{ \partial x^i } + \Gamma^k_{ij} \vec{\mathbf{e_k}} = \Gamma^k_{ij} \vec{\mathbf{e_k}},$$ lo que implica el resultado correcto de que $$\frac{\partial \vec{\mathbf{e_j}}}{ \partial x^i } = 0.$$

En general, es cierto que las derivadas parciales de $\ee_i$ desaparecen, pero las derivadas covariantes no. Los símbolos de Christoffel miden precisamente en qué medida difieren.

Answer 2

La fórmula del derivado covariante que utilizaste solo se puede usar con componentes de vectores o covectores. No puedes insertar un vector base en ella y obtener la respuesta correcta. Si asumes que las componentes de un vector base son constantes y usas un índice superior, habrías obtenido la respuesta correcta. La derivada parcial es cero y el último término con el símbolo de Christoffel queda con un signo más.