Regla de Cramer. El por qué y el cómo.

Question

¿Alguien puede explicar cómo funciona la regla de Cramer? Entiendo la mecánica de ella, y es bastante sencillo mostrar algebraicamente que es equivalente a la regla de Gauss-Jordan y la sustitución, pero ¿qué está sucediendo en realidad? Supongo que tiene que ver con las propiedades de los determinantes pero...

Answer 1

Sea $Ax=b$ un sistema de $n$ ecuaciones lineales en $n$ incógnitas.
Sea $a_j$ la $j$-ésima columna de $A$. Entonces $b = x_1 a_1 + x_2 a_2 + \cdots x_n a_n$.

Escribimos $\det(c_1,c_2,\dots,c_n)$ para el determinante de una matriz de $n\times n$ con columnas $c_1,c_2,\dots,c_n$.

La propiedad clave de $\det$ es que es una función multilineal alternada de $c_1,c_2,\dots,c_n$.
Esto significa que se pueden expandir sumas y sacar escalares, y que $\det$ es cero si dos columnas son iguales.

Ahora solo hay que calcular:

$\ \det(a_1, \dots, b, \dots, a_n)= \det(a_1, \dots, x_1 a_1 + \cdots +x_n a_n, \dots, a_n)= $
$ \quad x_1\det(a_1, \dots, a_1, \dots, a_n) + \cdots $
$ \quad x_j\det(a_1, \dots, a_j, \dots, a_n) + \cdots $
$ \quad x_n\det(a_1, \dots, a_n, \dots, a_n) $
$ \quad = x_j \det(A) $

Este es la regla de Cramer.