Demuestre que hay infinitas funciones $f:\mathbb N\rightarrow\mathbb N$ satisfaciendo $f(2)=2$ y $f(mn)=f(m)f(n) \forall m,n\in \mathbb N$

Question

Demuestre que hay infinitas funciones $f:\mathbb N \rightarrow \mathbb N$ tal que

(a) $f(2)=2$

(b) $f(mn)=f(m)f(n)$ para todos $m,n\in \mathbb N$$

Solución como en el libro:

Aquí utilizamos otra propiedad de los números naturales: Dado cualquier número natural n, existe un conjunto único $\{{p_1,p_2,\cdots , p_k}\}$ de números primos y el conjunto único $\{\alpha_1, \alpha_2,\cdots,\alpha_k\}$ de números enteros positivos tales que $n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_k^{\alpha_k}$

La condición (b) muestra que para conocer $f$ basta con conocer su valor en cada primo. Tenemos su valor en $p=2$ Podemos definir $f$ arbitrario sobre los primos $\neq 2$ y utilizar (b) para extenderlo a todos los demás números naturales utilizando la descomposición en primos.

Obsérvese que (b) obliga a $\;f(1)=1$

Por ejemplo, enumeremos el conjunto de todos los números primos como una secuencia creciente: $3=p_2<p_3<p_4<\cdots$ .

Definir para cada $k\geq 1$ $f_k$ por $f_k(p_j)=p_{j+k}$ para todos $j\geq 2$ .

Si $n=q_1^{\alpha_1}q_2^{\alpha_2}\cdots q_k^{\alpha_k}$ es la descomposición primaria de $n$ entonces definimos $f_k(n)=f_k(q_1)^{\alpha_1}f_k(q_2)^{\alpha_2}\cdots f_k(q_l)^{\alpha_l}$

Así, $f_1(3)=5, f_1(5)=7, f_1(7)=11,f_1(15)=35,f_1(16)=16$ y así sucesivamente.

Mi duda: (1) ¿Por qué sólo la función del tipo $f_k(p_j)=p_{j+k}$ ?

(2) ¿Puede la función ser como $f_k(p_j)=(p_{k+1})^2$ ¿también?

(3) ¿Puede alguien más sugerir otra forma de resolver este problema?

Answer 1

Recordemos que cualquier número entero positivo puede escribirse de forma única como $l= 2^n(2m+1)$ . Ahora defina $$ f(2^n(2m+1)) = 2^n(2m+1)^2$$ Esta función satisface tanto (a) como (b) pero no satisface (1).

Su libro sólo pide infinitos ejemplos de tales funciones. No pide la lista completa.

Answer 2

(1) Es sólo un ejemplo de infinitas funciones de este tipo, eso es todo. Podrías haber elegido algo diferente, pero el objetivo es simplemente demostrar que existen infinitas funciones de este tipo, eso es todo, no todas las funciones. De la definición también se desprende que todas esas funciones son diferentes entre sí.

(2) Tu ejemplo también funcionaría, sí, aunque tengo que decir que podría ser un poco menos claro por qué todas las funciones son diferentes entre sí sólo mirando la definición.

(3) También se puede elegir $f_k(p_j) = j$ o $f_k(p_j)=k$ Lo importante es que, mediante la descomposición en primos, se pueden definir las funciones sobre los primos y eso es suficiente.

Answer 3

El punto clave es éste: Supongamos que $f$ es una función definida en todos los primos(con $f(2)=2$ ) así como el número $1$ (con $f(1)=1$ ), entonces se puede extender (únicamente) la función $f$ a todos los números naturales, y tienen $f(mn)=f(m)f(n)$ . La razón es que todo número natural $>2$ se puede escribir como un producto único de primos. Así, por ejemplo, si se tiene $f(3)=5$ entonces se obtiene $f(6)=f(2)f(3)=10$ .

Ver que hay infinitas funciones de este tipo no es difícil.

Answer 4

Responderé a tu tercera pregunta. Creo que te refieres a que quieres una forma que no sólo encuentre una familia de infinitos $f$ Así que aquí está.

Observar $f(n)=n$ es una función posible, también

$$f(p)=\begin{cases} p &(p=2)\\ p^2&(p\ne2)\\ \end{cases}$$

también es posible. Así que tenemos al menos dos posibles $f$ 's.

Supongamos que el número de $f$ 's es finito, y nombra estos $f_1, f_2, \cdots, f_k$ .

Obsérvese que si definimos $f_{k+1}(n)=f_1(n) f_2(n) \cdots f_k(n)$ donde $n \ne 2$ y $f_{k+1}(2)=2$ , ésta tiene que satisfacer todas las restricciones. Además, el valor de $f_{k+1}(n)$ es mayor que la de cualquier otro $f$ por lo que no es idéntico a ninguno de ellos.

Esto contradice que el número de $f$ se puede determinar como un número finito, de ahí la prueba.

Sin embargo, en este proceso, podríamos haber encontrado

$$f_k(p)=\begin{cases} p &(p=2)\\ p^{k}&(p\ne2)\\ \end{cases}$$

que es más rápido y fácil. Si quieres demostrar la infinitud de algo, la mejor manera suele ser uno de esos dos métodos.