Topología superior vs. topología Alexandrov

Question

Dejemos que $(P, \le)$ sea un poset. Definimos las siguientes dos topologías conocidas sobre $P$ .

El topología superior tiene el principio de conjuntos superiores, es decir, conjuntos superiores de la forma $\{\uparrow x : x \in P\}$ como subbase.

El Topología de Alexondrov tiene como base los conjuntos superiores, es decir, conjuntos de la forma $\{\uparrow U : \uparrow U \subseteq P\}$ .

Ahora, está claro que la topología de Alexandrov es al menos tan grande como la topología superior (ya que todo conjunto superior de principio es efectivamente un conjunto superior, mientras que lo contrario no tiene por qué ser cierto).

Pero tengo la siguiente confusión.

Dado que la topología superior tendrá todos los conjuntos superiores principales como conjuntos abiertos, ¿la unión arbitraria de estos conjuntos abiertos no terminará generando toda la topología de Alexandrov, ya que todo conjunto superior es la unión de algún conjunto de conjuntos superiores de principio?

¿O la topología superior se presenta simplemente con conjuntos superiores y sus intersecciones, y nada más? Es evidente que me estoy perdiendo algo.

Answer 1

El problema es que tu definición de topología superior es errónea: es la topología que tiene como subbase todos los conjuntos de la forma $P\,\setminus\!\downarrow\!\!x$ para $x\in P$ .

Si $\langle X,\tau\rangle$ es un espacio topológico, podemos definir un orden de preorden $\le_\tau$ en $X$ , llamado el orden de especialización , por $x\le_\tau Y$ si y sólo si $x\in\operatorname{cl}\{y\}$ ; $\le_\tau$ es un orden parcial si $X$ es $T_0$ . La topología superior en $P$ es la topología más gruesa en $P$ cuyo orden de especialización es $\le$ La orden original sobre $P$ y la topología de Alexandrov es la más fina de ellas.

Para un ejemplo en el que los dos son distintos, dejemos $P=\Bbb Z\times\Bbb Z$ con el orden parcial del producto natural, y dejemos que $U=\{\langle m,n\rangle\in P:m\ge -n\}$ claramente $U$ es un conjunto superior y, por tanto, abierto en la topología de Alexandrov. Sea $p=\langle 0,0\rangle\in U$ . Si $U$ fueran abiertas en la topología superior, habría una $F\subseteq P$ tal que

$$p\in\bigcap_{x\in F}\left(P\,\setminus\!\downarrow\!\!x\right)\subseteq U\;.$$

Diga $F=\{\langle m_k,n_k\rangle:k=1,\ldots,\ell\}$ y que $$m=\max\{m_k:k=1,\ldots,\ell\}\qquad\text{and}\qquad n=\max\{n_k:k=1,\ldots,\ell\}\;.$$

Entonces

$$P\,\setminus\!\downarrow\!\!\langle m,n\rangle\subseteq P\setminus\bigcup_{x\in F}\downarrow\!\!x=\bigcap_{x\in F}\left(P\,\setminus\!\downarrow\!\!x\right)\;,$$

pero claramente $P\,\setminus\!\downarrow\!\!\langle m,n\rangle\nsubseteq U$ ya que $P\,\setminus\!\downarrow\!\!\langle m,n\rangle$ contiene $\Bbb Z\times\{r\}$ para $r>n$ .

Answer 2

Según sus definiciones, ambas topologías son iguales. Obsérvese que los conjuntos superiores no son sólo una base, sino que forman toda la topología. Y los conjuntos superiores principales no son sólo una subbase, sino que proceden de una base.

También he encontrado otra definición de la topología superior: los conjuntos principales inferiores generan los conjuntos cerrados. Es decir, los conjuntos abiertos tienen una subbase de forma $\{P \setminus \mathop\downarrow x: x ∈ P\}$ . Esta topología puede ser estrictamente más gruesa, pero es la misma si el orden es lineal.