Factorización en dominios noetherianos

Question

He cambiado el título (y el cuerpo) de esta página de preguntas, ya que el usuario26857 proporcionó una buena respuesta para mi pregunta original en un entorno más general.

Esto es lo que ofrece la respuesta aceptada más abajo:

Si $m_{1},…,m_{r}$ son ideales máximos distintos de un dominio integral noetheriano $R$ que no es un campo y $m^{e_{1}}_{1}\cdots m^{e_{r}}_{r}=m^{f_{1}}_{1}\cdots m^{f_{r}}_{r}$ entonces $e_{i}=f_{i}$ para todos $i=1,...,r$ .

Answer 1

Si $m_1,\dots,m_r$ son ideales máximos distintos de un dominio integral noetheriano $R$ que no es un campo y $m_1^{e_1}\cdots m_r^{e_r}=m_1^{f_1}\cdots m_r^{f_r}$ entonces $e_i=f_i$ para todos $i$ .

Al localizar en $m_i$ tenemos $m_i^{e_i}R_{m_i}=m_i^{f_i}R_{m_i}$ Es decir, $(m_iR_{m_i})^{e_i}=(m_iR_{m_i})^{f_i}$ y así podemos reducir el problema al caso local.

Considere $R$ un dominio local noetheriano que no es un campo con ideal máximo $m$ y $m^i=m^j$ . Entonces $i=j$ .

Supongamos que $i<j$ . Desde $m^i=m^j$ obtenemos $m^i=m^{i+1}$ y por Nakayama $m^i=0$ . A continuación $m=0$ una contradicción.