Encuentra las coordenadas del tercer punto de la recta

Question

No puedo averiguar cómo calcular el siguiente punto en el tramo (línea recta). Es decir, tengo puntos $P_1$ y $P_2$ en una línea recta. Necesito encontrar el siguiente punto ( $P_3$ ) en esta línea donde $P_3$ está en la distancia $h$ desde el punto $P_2$ ( $P_3$ no está entre $P_1$ y $P_2$ ). También la distancia desde $P_1$ a $P_2$ se conoce como $r$ Hasta ahora intentaba utilizar estas expresiones:

$h = \sqrt{(x_3-x_2)^2 +(y_3-y_2)^2}$ - distancia de $P_3$ a $P_2$

$(h+r) = \sqrt{(x_3-x_1)^2 +(y_3-y_1)^2}$ - distancia de $P_3$ a $P_1$

al principio estoy resolviendo para $x_3$ en ambas expresiones:

$x_3 = \sqrt{(r+h)^2-(y_3-y_1)^2} +x_1 \hspace{10cm}(1)$

y

$x_3 = \sqrt{h^2-(y_3-y_2)^2} + x_2\hspace{11cm}(2)$

El lado izquierdo en ambas ecuaciones es $x_3$ Así que..:

$\sqrt{(r+h)^2-(y_3-y_1)^2} +x_1 = \sqrt{h^2-(y_3-y_2)^2}+ x_2$

y ahí es donde necesito su ayuda - Traté de resolver para $y_3$ :

$y3 = (r^2+2\cdot r\cdot h+x_1^2-y_1^2-x_2^2+y_2^2)/(2(y_2-y_1))$

pero el resultado calculado es incorrecto. También he intentado utilizar wolfram, pero el resultado es... https://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt((r%2Bh)%5E2-(y_3-y_1)%5E2)+%2Bx_1+%3D+sqrt(h%5E2-(y_3-y_2)%5E2)%2B+x_2+solve+for+y_3+%2Bx_1+%3D+sqrt(h%5E2-(y_3-y_2)%5E2)%2B+x_2+solve+for+y_3)

¿Me he equivocado en alguna parte? ¿O debo utilizar otros métodos para resolverlo?

Hay datos de prueba:

$P_1(0;0)$
$P_2 (24;8)$
$h = 50$
$r = 25$

Answer 1

La línea puede ser parametrizada por $\mathbf{x}(t) = (x_1 + t(x_2 - x_1),y_1 + t(y_2 - y_1))$ para todos $t\in\mathbb{R}$ . Desde el punto $P_3 = (x_3,y_3)$ está en esta línea, existe un $t$ tal que $\mathbf{x}(t) = (x_3,y_3)$ . Suponiendo que el punto $P_3$ viene después del punto $P_2$ en la línea, podemos resolver para $t$ observando que la distancia de $P_1$ a $P_3$ es

$$ r + h = \sqrt{(x_3 - x_1)^2 + (y_3 - y_1)^2} = |t|\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

Por lo tanto,

$$ t = \frac{r + h}{\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}} $$

Si se introduce este valor de $t$ en $\mathbf{x}(t)$ le dará las coordenadas de $P_3$ .

Answer 2

La respuesta que has escrito para y3 es incorrecta. Has olvidado los términos cruzados. La respuesta de wolfram alpha es correcta. Sin embargo, como ha señalado K.Miller, no es necesario complicarse tanto.