Encontrar la solución de la estadística suficiente para esta función

Question

Supongamos que $X_1,X_2,\ldots,X_n$ sea una muestra aleatoria de distribución con función de densidad de probabilidad

$$f(x\mid\theta) = \theta x^{\theta-1},\quad 0\lt x \lt 1,\quad 0\lt \theta \lt \infty$$

¿Cómo puedo encontrar las estadísticas suficientes del parámetro $$?

Necesito orientación al respecto. No estoy muy seguro de cómo empezar...

Answer 1

La densidad conjunta es $$ \prod_{i=1}^n (\theta x_i^{\theta-1}) = \theta^n\left(\prod_{i=1}^n x_i\right)^{\theta-1}. $$ Como esto depende de $(x_1,\ldots,x_n)$ sólo a través de su producto, el producto es suficiente.

Si se puede poner la densidad de la junta en una forma en la que es un producto de dos cosas, y uno de esos factores depende de $(x_1,\ldots,x_n)$ sólo a través de una estadística particular $T$ y el otro factor no depende de $\theta$ entonces $T$ es suficiente. Ese es el criterio de factorización de Fisher. Eso es probablemente más rápido en este caso que volver a la definición de suficiencia (que en este caso diría que la distribución condicional de $(X_1,\ldots,X_n)$ dado $X_1\cdots X_n$ no depende de $\theta$ (Aviso: aquí estoy usando mayúsculas $X$ ; arriba utilizo las minúsculas $X$ Lo menciono porque no es raro ver a personas que escriben en foros como éste descuidando la distinción).