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Ejemplo de abélien de tres generadores por cíclico

¿Puede usted darme un ejemplo de grupo de tres generadores abelien por cíclico(es decir, existe subgrupo normal $N$ en $G$ abelien y $G/N$ es cíclico) que no es finito por nilpotente (es decir, no hay un subgrupo finito $ M$ en $G$ tal que $G/M$ es nilpotente) pero tiene cada uno de sus subgrupos subnormales generadores abelianos.

por ejemplo dejemos $A$ sea un grupo abeliano libre de rango $2$ generado por $a$ , $b$ y que $x$ sea el automorfismo de orden 2 que invierte cada elemento de $A$ dejemos $G$ sea la extensión dividida de A por $<x>$ .

subgrupos subnormales si Existe una cadena ascendente finita de subgrupos que parte del subgrupo y llega hasta el grupo completo.

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Onorio Catenacci Puntos 6130

Queremos demostrar que todo subgrupo subnormal del grupo $G=\langle a,b,t \mid ab=ba, t^2=1, a^t=a^{-1},b^t=b^{-1} \rangle$ es abeliana.

Dejemos que $H$ sea un no-abeliano $2$ -subgrupo generador de $G$ . Entonces $H$ contiene algún elemento fuera de $\langle a,b \rangle$ y como todos esos elementos tienen orden $2$ y son equivalentes bajo un automorfismo de $G$ podemos suponer que $t \in H$ . Podemos suponer también que el otro generador se encuentra en $\langle a,b \rangle$ Así que $H = \langle t,a^ib^j \rangle$ para algunos $i,j \in {\mathbb Z}$ .

Tenemos que demostrar que $H$ no es subnormal en $G$ . Sea $N = N_G(H)$ . Si $a^kb^l \in N$ entonces $a^{-k}b^{-l}ta^kb^l = t a^{2k}b^{2l} \in H$ Así que $a^{2k}b^{2l} \in H$ . Por lo tanto, $|N:H| \le 2$ y $N \cap \langle a,b \rangle$ sigue siendo cíclico. Por lo tanto, si $|N:H| = 2$ podemos sustituir $H$ por $N$ y calcular su normalizador. Repitiendo este proceso, la cadena ascendente de normalizadores debe finalmente estabilizarse con un $2$ -subgrupo generador $N'$ con $N' \cap \langle a,b \rangle$ cíclico. Así que $H$ no es subnormal en $G$ .

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