Derivado de los ingresos totales

Question

Tengo una pregunta relacionada con las matemáticas y esperaba que pudieran ayudarme. Estoy tratando de entender por qué, al diferenciar la función de ingresos totales, se requiere diferenciar implícitamente.

La fórmula de los ingresos totales es $R=PQ$ , donde $R$ son los ingresos totales, $P$ es el precio unitario y $Q$ es la cantidad. Sé diferenciar implícitamente... $\frac{dR}{dP}=Q+P\frac{dQ}{dP}$ ... pero no entiendo muy bien por qué es necesario. Es decir, ¿por qué no tratamos $Q$ como una constante, dando $\frac{dR}{dP}=Q$ .

También sé que la función de ingresos puede expresarse como $R(Q)=P(Q)\times Q$ Así que esto me dice que, porque $P$ es una función de $Q$ ¿No puedo tratarla como una constante? ¿Qué tiene esta función que me obliga a utilizar la diferenciación implícita? Gracias de antemano.

Answer 1

En realidad esto es sólo una diferenciación, así que no hay que confundirse demasiado aquí. muchas relaciones encontradas en la ciencia pueden expresarse en la forma: $$ y = f(x) \tag{1} $$ sin embargo, una expresión más simétrica es a veces más apropiada; $$ g(x,y) = 0 \tag{2} $$ es trivial (aunque no necesario) reescribir una relación de la forma 1 como una relación del segundo tipo, es decir $$ h(x,y) = f(x)-y = 0 $$ Sin embargo, puede que no sea tan sencillo traducir la forma 2 a la forma 1, y a menudo esto sólo puede hacerse bajo ciertas restricciones.

utilizando la forma 2, supongamos $x$ y $y$ son ambas funciones (de forma 1) de un parámetro $t$ .

entonces la diferenciación por $t$ da: $$ \frac{dg}{dt} = \frac{\partial g}{\partial x} \frac{dx}{dt} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{dy}{dt} \tag{3} $$ Un caso especial es cuando la función del parámetro $t$ es tomada por la variable $x$ . en este caso $\frac{dx}{dt}=1$ y (3) se convierte en $$ \frac{dg}{dx} = \frac{\partial g}{\partial x} + \frac{\partial g}{\partial y} \frac{dy}{dx} \tag{34} $$ suele ser la distinción entre $\frac{\partial g}{\partial x}$ y $ \frac{dg}{dx}$ lo que provoca dificultades para los principiantes.