En S4, encuentra todas las permutaciones pares y demuestra que el conjunto de permutaciones Impares no es estable para las operaciones binarias en S4.

Question

Quiero encontrar las permutaciones pares de $S_4$ ¿se supone que debo encontrar las transposiciones, pero de qué permutación exactamente encuentro las transposiciones? ¿Y cómo sé cuáles son pares? Además, no creo que esté del todo seguro de cómo escribir permutaciones como producto de transposiciones. Por ejemplo (1234) podría ser (12)(13)(14) pero no sé de qué otra forma se podría escribir. Además, ¿cómo puedo demostrar que el conjunto de permutaciones impar no es estable Bajo operaciones binarias en $S_4$ ¿también?

Gracias.

Answer 1

Sugerencia para escribir todas las permutaciones pares en $S_4$ : hay $p(4)=5$ diferentes clases de conjugación en $S_4$ con representantes $$ e, (12), (12)(34), (123), (1234). $$ Para cada clase de conjugación, determine si está formada por permutaciones pares o Impares. A continuación, haz una lista de todas las permutaciones en las clases de conjugación correspondientes a las permutaciones pares. Para determinar si una clase de conjugación dada es par o impar, se puede utilizar el hecho de que un $k$ -ciclo es un producto de $k-1$ transposiciones.

Pista para demostrar que el conjunto de permutaciones impar no es cerrado: el producto de cualquier dos permutaciones de impar es par, así que elige las dos que quieras. Por otro lado, el conjunto de permutaciones pares es cerrado bajo producto, y forma un grupo conocido como el grupo alterno $A_n$ .