¿Podría alguien mostrarme cómo multiplicar en digamos $S_4$ . Sé cómo multiplicar decir $(4321)(2341)$ pero cuando se trata de las que no contienen $4$ términos, como $(34)(231)$ No tengo ni idea de cómo manejar esto. Lo hacemos de izquierda a derecha.
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No vayas de izquierda a derecha. Ve de derecha a izquierda.
Para $(34)(231)$ , empieza con el par de paréntesis de la derecha. Elige un número entre ese par y escríbelo en un nuevo par de paréntesis. Primero elegiré $2$ . Así que escribo:
$(2)$
Ahora, ¿dónde está el $2$ ¿Ir? Va a $3$ en el par de la derecha, pero luego si se trabaja en el par de paréntesis de la izquierda vemos en ese par que $3$ va a $4$ . Así que, en definitiva, $2$ va a $4$ . Así que en su nuevo par de paréntesis, escribiría $4$ después de $2$ .
$(24)$
Ahora, tenemos que ver dónde $4$ va. Así que empieza de nuevo con el par de paréntesis más a la derecha. Como $4$ no está presente allí, significa que $4$ va a sí mismo bajo ese par. Luego, muévete hacia la izquierda, y mira dónde $4$ va. $4$ va a $3$ así que en última instancia.., $4$ va a $3$ . Así que escribiría $3$ después de $4$ .
$(243)$
Ahora, ¿dónde está el $3$ ¿Ir? Pues en el paréntesis más a la derecha, $3$ va a $1$ y en el par de la izquierda, $1$ no está presente, por lo que $1$ va a $1$ en ese par. Así que, en última instancia, $3$ va a $1$ Así que voy a escribir $1$ junto al $3$ .
$(2431)$
Ahora bien, ¿dónde está el $1$ ¿Ir? En el par correcto, $1$ va a $2$ y en el par de la izquierda $2$ no está presente, por lo que $2$ va a sí mismo allí. Así que en última instancia, $1$ va a $2$ . Así que tendría que escribir $2$ después de $1$ Pero fíjate en lo que he escrito, $1$ ya va a $2$ así que no necesito cambiar nada.
Así que tenemos $(2431)$ . Dado que cada número entero distinto en $(34)(231)$ se utiliza, hemos terminado. Si alguno no se utiliza, empezaría un nuevo par a la derecha del anterior, como $(2431)()$ y escoge uno de los enteros no utilizados, y sigue a partir de ahí.
Peter Smith
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513
Permítame explicarlo en su ejemplo. En primer lugar, el producto $(3,4)(2,3,1)$ es la composición $(3,4) \circ (2,3,1)$ . Desde la perspectiva de la composición, escribamos $f = (3,4)$ y $g = (2,3,1)$ . En este caso, tenemos
$$ \begin{array}{c|c|c|c} x & g(x) & f\circ g(x) & \text{conclusion}\\ \hline 1 & g(1) = 2 & f(2) = 2 & 1 \to 2\\ 2 & g(2) = 3 & f(3) = 4 & 2 \to 4\\ 3 & g(3) = 1 & f(1) = 1 & 3 \to 1\\ 4 & g(4) = 4 & f(4) = 3 & 4 \to 3 \end{array} $$
Utilizando la columna "conclusión", vemos que $(3,4)(2,3,1) = (1,2,4,3)$ .
vvnitram
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c.sidney
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La notación habitual de función significa que fog = f(g).. f actúa sobre g. Pero los teóricos de grupos (más antiguos) dicen que la "multiplicación" (f)(g) de dos permutaciones significa g(f). Por supuesto la niebla no es igual a (f)(g) = gof. La notación de "ciclo" (34) significa 3 -> 4; y 4-> 3 ..todas las demás entradas permanecen sin cambios. (231) significa 2-> 3; 3 -> 1 ; 1 -> 2. Es decir, (1234) -> (2314). En la notación habitual de las funciones (34)(231) = (1243) o (2314) = (2341) En notación teórica de grupos (34)(231) = (2314)(1243) = (2413).
