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Probar un conjunto $(X, \le)$ está bien ordenado.

Poner un ejemplo de conjunto bien ordenado $(X,\le)$ en la que existe un elemento $x_0$ tal que hay infinitos elementos $x\in X$ tal que $x\lt x_0$ .

Dejemos que $X=$ { $A_i | i \in \mathbb N$ } $\cup \mathbb N$ donde $A_i=$ { $1,2,...,i$ }. Sea la relación de inclusión de conjuntos. Aquí, $x_0=\mathbb N$ obviamente. Siento intuitivamente que mi $X$ está bien ordenado pero no estoy seguro de cómo probarlo.

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Adam Holmes Puntos 106

Dejemos que $S\subseteq X$ sea no vacía.

Si $\mathbb{N}\notin S$ entonces $$ S=\bigcup_{i\in I}\{A_i\} $$ para un subconjunto no vacío $I\subseteq\mathbb{N}$ . Desde $\mathbb{N}$ está bien ordenado, se deduce que hay un elemento mínimo $i_o\in I$ . Claramente, $A_{i_0}$ es el mínimo de $S$ .

Lo mismo ocurre si $$ S=\{\mathbb{N}\}\cup\bigcup_{i\in I}\{A_i\} $$ para un subconjunto no vacío $I\subseteq\mathbb{N}$ .

Si $S=\{\mathbb{N}\}$ entonces claramente $\mathbb{N}$ es el mínimo de $S$ .

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msaspence Puntos 101

Yo utilizaría la cardinalidad para la relación de ordenación. Es decir, $x_i \le x_j$ en su pedido cuando $|x_i| \le |x_j|$ utilizando el significado común de menos que o igual.

Efectivamente, su conjunto son los números naturales más $\aleph_0$ . La ordenación de los bienes se desprende directamente de ello.

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