Hay una prueba directa de que una unidad compacta bola implica la automática continuidad?

Question

Uno de los teoremas fundamentales en el análisis funcional es que si $X$ es un espacio de Banach (con más de $\Bbb C$) con una compacta unidad cerrada balón, $X$ es finitely dimensiones.

La prueba usual es asumiendo $X$ es de infinitas dimensiones, y la construcción de la inducción por una secuencia de vectores de la unidad de la esfera que no sólo son linealmente independientes, pero también tienen distancias de $>\frac12$ el uno del otro.

Pero también se puede probar esto de automática de la continuidad. Es decir, si cada funcional lineal $f\colon X\to\Bbb C$ es continuo, a continuación, $X$ tiene una dimensión finita. Si $\{v_n\mid n\in\Bbb N\}$ son linealmente independientes, y la mentira de la unidad de la esfera, la función de $f(v_n)=n$ puede ser extendido a un funcional lineal en $X$. Es ilimitado y, por tanto, no continuo.

Se puede demostrar directamente a partir de la suposición de que la bola unidad cerrada (equiv. la unidad de la esfera) es compacto, que cada funcional lineal continuo es?

Answer 1

Este definitivamente no es una respuesta a la pregunta. Pero es, posiblemente, divertida prueba del resultado - yo estaba pensando en probar que la continuidad y encontré que había demostrado que $X$ es finito-dimensional.

Decir $B(x,r)$ es el cierre de bola en $X$ $x$ radio $r$. Supongamos $B(0,1)$ es compacto. Entonces existe un conjunto finito $F\subset B(0,1)$ tal que $$B(0,1)\subset\bigcup_{y\in F}B(y,1/2).$$

Por lo tanto, por la normativa-vector-spaceness de $X$, para cada $x\in F$ tenemos $B(x,1/2)\subset\bigcup_{y\in F}(x+B(y/2,1/4))$, por lo que $$B(0,1)\subset\bigcup_{y_0,y_1\in F}B(y_0+ y_1/2,1/4).$$ Etc. It follows that for every $x\in B(0,1)$ there exist $y_0,y_1\dots\in F$ with $$x=\sum_{n=0}^\infty2^{-n}y_n.$$

Y ahora, si reagrupar los términos en que la suma de ello se sigue que $x$ es una combinación lineal de los elementos de $F$, qed. (De hecho, $x/2$ se encuentra en el casco convexo de $F$.)

Answer 2

Edit: Como se ha señalado por Daniel Fisher en un comentario, mi primer intento fue incompleta. Lo hace, sin embargo, si sabemos que la unidad de la bola en cada finito-dimensional normativa espacio es compacto. Tengo que admitir que esta no es una respuesta satisfactoria.

Deje $f\colon X\to\mathbb{K}$ ser un funcional lineal. Para mostrar la continuidad basta para demostrar que $\ker f$ es cerrado. Ahora, $\ker f$ es localmente compacto subespacio de $X$ (ya que es finito-dimensional). En particular, $\ker f$ es localmente compacto subgrupo de la topológico de Hausdorff grupo $X$. Por la teoría general, localmente compacto subgrupos de Hausdorff grupos están cerrados.

(No tengo una referencia de la última declaración además de Wikipedia. En Dieudonné los Elementos d'Analyse es demostrado en el metrizable caso de espacios de Banach que la suposición adicional es obviamente satisfecho).