Pregunta sobre conjuntos parcialmente ordenados e imágenes de conjuntos

Question

¿Podría alguien revisar mi intento de probar el siguiente problema, por favor?

Dejemos que $(A,\preceq)$ y $(B,\preceq')$ ser POSETS y $C \subseteq A$ . Supongamos que $h:A \rightarrow B$ satisface $x \preceq y \iff h(x) \preceq' h(y)$ para todos $x,y \in A$ .

Si $h[C]$ tiene un límite superior y $h$ es onto, entonces demuestre que $C$ tiene un límite superior.

---

Intento :

Dejemos que $(A,\preceq)$ y $(B,\preceq')$ ser POSETS y $C \subseteq A$ . Supongamos que una función $h:A \rightarrow B$ satisface $x \preceq y \iff h(x) \preceq' h(y)$ para todos $x,y \in A$ .

Supongamos por contradicción que $C$ no tiene un límite superior, entonces, por definición, no existe ningún $b \in A$ tal que $x \preceq b$ para cualquier $x \in C$ . [i]

Por supuesto, $h[C]$ tiene un límite superior, por lo que por definición existe algún $d_B \in h[C]$ (con $d_B=h(d_A)$ para algunos $d_A \in C$ ) tal que $z \preceq' d_B$ para todos $z \in h[C]$ (con $z=h(x)$ y $x \in C$ ).

Desde $z \preceq' d_B$ y $d_B=h(d_A)$ y $z=h(x)$ entonces $h(x) \preceq' h(d_A)$ y $x \preceq d_A$ por definición, lo que contradice el resultado encontrado en [i] .

---

Nuevamente... esto me parece correcto... pero se siente dudoso por alguna razón... ¡ni siquiera usé el hecho de que h es onto!

Gracias de nuevo.

Answer 1

Su prueba es correcta, pero usted utiliza esa $h$ está en. A saber, cuando dice $d_B = h(d_A)$ para algunos $d_A \in A$ .

Además, no es necesario trabajar con una contradicción. La parte central de tu prueba demuestra directamente que hay algún límite superior para $C$ en $A$ . En este momento, su prueba es de la forma:

1. Supongamos que $C$ no tiene límite superior en $A$ .
2. Demuestra que $C$ tiene un límite superior en $A$ sin utilizar la suposición del primer paso.
3. Esto contradice la primera suposición, por lo que la contradicción, por lo que $C$ debe tener un límite superior (que ya hemos establecido directamente en el segundo paso).

Ejercicio extra divertido: ¿puedes pensar en un ejemplo de $A, B, C$ y $h$ que satisfacen todas las hipótesis excepto que $h$ puede no ser onto, de manera que $h[C]$ tiene un límite superior en $B$ pero $C$ no tiene límite superior en $A$ .