Demostrar que $g(x)=\sqrt[3]{x}$ es continua en $c \ne 0$

Question

Mi pregunta se refiere a este vieja pregunta.

La antigua pregunta se refería a probar que $g(x)=\sqrt[3]{x}$ es continua en $c \ne 0$ . Básicamente, la pregunta era por qué es que $$\sqrt[3]{xc} \ge 0.$$ y de la respuesta/comentarios, deduje que esto es así porque o bien $x, c <0$ o $x, c >0$ siempre y cuando tomemos $\delta=\min\left(\epsilon\sqrt[3]{c}, \dfrac{|c|}{2}\right)$ . Estoy tratando de verificar esto. Si $\epsilon\sqrt[3]{c}< \dfrac{|c|}{2}$ He obtenido el resultado deseado mediante una simple manipulación de las desigualdades. Sin embargo, si $\epsilon\sqrt[3]{c}> \dfrac{|c|}{2}$ ¿Cómo podemos verificar que $x, c <0$ o $x, c >0$ ? ¿Es la elección de $\delta$ ¿Incorrecto? Se agradece cualquier ayuda.

Answer 1

Quiere demostrar que, si $|x-c|<\frac{c}{2}$ entonces $x$ y $c$ tienen el mismo signo (es decir $xc>0$ ). Esto puede hacerse de la siguiente manera:

Supongamos que primero $c>0$ . Si $|x-c|<\frac{c}{2}$ entonces $$ -\frac{c}{2}<x-c<\frac{c}{2} $$ En particular, $$ x>c-\frac{c}{2}=\frac{c}{2}>0 $$ Así, $x>0$ .

Supongamos ahora que $c<0$ . Si $|x-c|<\frac{-c}{2}$ entonces $$ \frac{c}{2}<x-c<\frac{-c}{2} $$ En particular, $$ x<c+\frac{-c}{2}=\frac{c}{2}<0 $$ Así, $x<0$ .