Necesito evaluar una integral de la forma
$$\int_{-\infty}^\infty ... \int_{-\infty}^\infty \exp[-\mathbf{x}^T\mathbf{M}\mathbf{x} + \mathbf{r}^T\mathbf{x}] dx_1...dx_N$$
Sé que cuando $\mathbf{r} = \mathbf{0}$ la integral es simplemente $\sqrt{\frac{\pi^N}{\det\mathbf{M}}}$ . La matriz, $\mathbf{M}$ es grande pero su estructura es de bloque
$$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{G} \\ \mathbf{G}^T & \mathbf{0} \end{bmatrix}$$
donde $\mathbf{A}$ también es diagonal en bloque, por lo que el determinante de $\mathbf{M}$ no es difícil de encontrar en forma cerrada (descomponiendo en un producto de matrices con determinantes mucho más fáciles de calcular). Sin embargo, cuando $\mathbf{r} \neq \mathbf{0}$ entonces la única forma que conozco de evaluar la integral es diagonalizar $\mathbf{M}$ por $\mathbf{P} \mathbf{M} \mathbf{P}^T$ , girar $\mathbf{r}$ y completa el cuadrado. Esto requiere que encuentre los vectores propios y los valores propios de $\mathbf{M}$ . ¿Existe (1) una forma más sencilla de encontrar los valores y vectores propios de $\mathbf{M}$ que hace uso de su estructura ( $\mathbf{A}$ es $5M \times 5M$ que consiste en $5 \times 5$ bloques, $\mathbf{G}$ es $3 \times 5M$ y $N = 5M + 3$ ) o (2) una forma alternativa de evaluar la integral que no requiera encontrar los valores y vectores propios de $\mathbf{M}$ ?
