Dejemos que $f(x) =x^3+x+1 \in \mathbb{Q} [x] $ . Si lo ideal es $I=(f(x)) $ , hallar la inversa de $x^2+x+1$ en el cociente $\mathbb{Q} [x] /I$ .

Question

Dejemos que $f(x) =x^3+x+1 \in \mathbb{Q} [x] $ . Si lo ideal es $I=(f(x)) $ , hallar la inversa de $x^2+x+1$ en el cociente $\mathbb{Q} [x] /I$ .

Tengo problemas con esto. ¿Qué es exactamente el cociente $\mathbb{Q} [x] /I$ ¿Aquí? Supongo que son polinomios de grado 2 o menos que en la multiplicación satisfacen la relación $ x^3+x+1=0$ . ¿Cómo encuentro la inversa? Supongo que tengo que encontrar un polinomio de grado 2 o menos para que al multiplicarlo por $x^2+x+1$ Obtengo algo divisible por $ x^3+x+1$ .

Answer 1

Necesitas encontrar un polinomio $g(x)$ tal que $x^3+x+1$ divide $g(x)\cdot (x^2+x+1)-1$ .

Se puede hacer de la misma manera que para los enteros: supongamos $p,q$ son enteros coprimos. ¿Cómo se encuentra $a,b$ tal que $ap+bq=1$ ?

Si lo sabes, haz lo mismo con $p=x^3+x+1$ y $q=x^2+x+1$ .

(Tenga en cuenta que esto funciona esencialmente porque $\mathbf Q[x]$ es un anillo euclidiano, como anillo de polinomios en una variable sobre un campo).

Answer 2

Escribe $$ (x^2 + x + 1)(ax^2 + bx + c) = 1 $$ y expandirse. Luego iguala los coeficientes teniendo en cuenta que estás trabajando en $\mathbb{Q}[x]/I$ para poder utilizar la identidad $x^3 = - x - 1$ para deshacerse de los poderes superiores a $2$ .

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Como menciona Arthur en los comentarios de esta respuesta, la forma más coherente de hacerlo es utilizar el algoritmo de la división euclidiana, como se menciona en otra respuesta.

Answer 3

Un polinomio en el anillo de cociente se puede representar por $ax^2+bx+c.$

Queremos $(ax^2+bx+c)(x^2+x+1)\equiv 1 \pmod {x^3+x+1}$ .

Tenga en cuenta que $\color{blue}{x^3\equiv-x-1}$ y $\color{green}{x^4\equiv -x^2-x}$ .

Así, $(ax^2+bx+c)(x^2+x+1)\equiv \color{green}{ax^4}+\color{blue}{(a+b)x^3}+(a+b+c)x^2+(b+c)x+c$

$\equiv \color{green}{-ax^2-ax}\color{blue}{-(a+b)x-(a+b)}+(a+b+c)x^2+(b+c)x+c$

$\equiv (b+c)x^2+(c-2a)x+(c-a-b)\equiv1,$

por lo que queremos $b+c=0, c-2a=0, $ y $c-a-b=1$ .

¿Puedes resolver este sistema de ecuaciones para $a, b, $ y $c$ ?

Una pista: $c=-b=2a$ .

Answer 4

Prefiero utilizar $u$ en lugar de $x$ en el anillo de cociente, por lo que $u=x+(f(x))\in\mathbb{Q}[x]/I$ .

Considere la acción de $u^2+u+1$ por multiplicación: se trata de un mapa lineal, cuya matriz con respecto a la base $\{1,u,u^2\}$ es $$ \begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$ porque \begin{align} (u^2+u+1)1&=u^2+u+1 \\ (u^2+u+1)u&=u^3+u^2+u=u^2-1 \\ (u^2+u+1)u^2&=u^4+u^3+u^2=-2u-1 \end{align} La inversa de esta matriz es $$ \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 2 & -1 & 2 \\ -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \end{bmatrix} $$ por lo que la inversa es $$ \frac{1}{3}(2-2u+u^2) $$