Probar la existencia de los coeficientes que minimizan $\|y - a_1 x_1 - a_2 x_2 - \ldots - a_n x_n\|$

Question

Estoy teniendo bastantes dificultades con el siguiente problema de Luenberger Optimización con métodos de espacio vectorial :

2.9: Dejemos que $X$ sea un espacio lineal normado y sea $x_1, x_2, \ldots, x_n$ sean vectores linealmente independientes de $X$ . Para las instalaciones fijas $y\in X$ , demuestran que hay coeficientes $a_1, a_2, \ldots, a_n$ minimizar $\|y - a_1 x_1 - a_2 x_2 - \ldots - a_n x_n\|$ .

Se nos dice antes en el capítulo que "un funcional semicontinuo superior en un subconjunto compacto $K$ de un espacio lineal normado $X$ alcanza un máximo en $K$ ." Así que empecé por considerar el ser funcional $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ donde: $$f(a; x_1, x_2, \ldots, x_n, y) = \|y - a_1 x_1 - a_2 x_2 - \ldots - a_n x_n\|$$ y $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ . Entonces, esperaba mostrar que $f$ es semicontinuo inferior en $a$ y que la función podría restringirse a algún subconjunto compacto $K$ de $\mathbb{R}^n$ .

[Pregunta 1: ¿puedo decir que sólo estoy considerando $a_1, a_2, \ldots, a_n$ en algún conjunto con un diámetro determinado, es decir, sólo suponer que está totalmente acotado].

Para la primera parte, quiero mostrar que $f$ es semicontinuo inferior en $a\in K$ Así que estoy tratando de elegir $\delta$ para que para aquellos $b\in K$ para lo cual $\|a - b\| < \delta$ la diferencia entre $f(b)$ y $f(a)$ es menor que $\epsilon$ . La diferencia es: \begin{align}f(b) - f(a) &= \|y - \sum_{i=1}^n b_i x_i\| -\|y - \sum_{i=1}^n a_i x_i\| \\ &\leq\|\sum_{i=1}^n (a_i - b_i) x_i\| \leq (\max \|x_i\|)\|\sum_{i=1}^n (a_i - b_i)\|\end{align} En este punto, me quedo atascado en cuanto a cómo $\delta$ encaja en el segundo término. Una ruta que probé fue dejar que $\delta = n\max_i |a_i - b_i|$ pero no estaba seguro de poder restringir $b_i$ de esta manera. También había aterrizado de alguna manera en $\delta < \frac{\epsilon\sqrt{n}}{n \max_i \|x_i\|}$ pero esto tampoco pareció funcionar.

[Pregunta 2: Siento que me estoy perdiendo algo obvio aquí, pero ¿algún consejo para mostrar que esto es LSC?]

Además, una pregunta menor, ¿tiene algún consejo sobre cómo escribir esto correctamente? Pido disculpas por lo desordenado que es.

Answer 1

Después de dedicar más tiempo al problema, esto es lo que se me ocurrió. Apreciaría cualquier corrección que pueda aportar:

Dejemos que $a = (a_1, a_2, \ldots, a_n)$ y $f: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ donde $f(a, x_1, x_2, \ldots, x_n, y) = \|y - a_1 x_1 - a_2 x_2 - \ldots - a_n x_n\|$ . Cuando $x_1, x_2, \ldots, x_n, y$ son evidentes o irrelevantes, lo escribiré como $f(a)$ .

Si $y$ está en el subespacio generado por $x_1, x_2, \ldots, x_n$ entonces existen coeficientes únicos que satisfacen $f(a) = 0$ . De lo contrario, porque $f(0) = \|y\|$ podemos limitar la atención a los coeficientes que satisfacen $f(a) \leq \|y\|$ dado por $K = \{a\in \mathbb{R}^n: 0 \leq f(a) \leq \|y\|\}$ , donde $K$ está limitada por debajo por cero y por encima por $\|y\|$ . Para demostrar que $K$ está cerrado, elija $b \in K^c$ así que $\|y - \sum b_i x_i\| > \|y\|$ . Entonces, eligiendo $\epsilon = \frac{\|y - \sum b_i x_i\| - \|y\|}{\max\|x_i\|}$ , si $c\in N_\epsilon(b)$ entonces $\|y - \sum c_i x_i\| > \|y\|$ lo que significa que $c\in K^c$ y $K^c$ está abierto y $K$ está cerrado. Porque $K$ es un subconjunto del espacio euclidiano y es cerrado y acotado, es compacto.

¿Podría alguien volver a comprobar la prueba de que $K$ está abierto, si es posible?

Se nos dice antes en el capítulo que "un funcional semicontinuo superior en un subconjunto compacto $K$ de un espacio lineal normado $X$ alcanza un máximo en $K$ ." Porque queremos demostrar que $f$ alcanza un mínimo de más de $K$ debemos demostrar que $f$ es semicontinuo inferior. Dado $\epsilon > 0$ Supongamos que $\|a-b\| < \epsilon/ \max \|x_i\|$ . Entonces

\begin{align} \epsilon > (\max \|x_i\|)\|a - b\| &\geq (\max \|x_i\|)\|\sum_{i=1}^n (a_i - b_i)\| \geq \|\sum_{i=1}^n (a_i - b_i) x_i\| \\ & \geq \|y - \sum_{i=1}^n b_i x_i\| -\|y - \sum_{i=1}^n a_i x_i\| \geq f(b) - f(a) \end{align} y así $f(a) - f(b) < \epsilon$ como se desee. Tenga en cuenta que $\max \|x_i\| > 0$ ya que los vectores son independientes. Como $f$ es semicontinuo inferior sobre el subconjunto compacto $K$ alcanza un mínimo sobre el subconjunto.