Demuestre que si $\langle f,g\rangle=\langle k,h\rangle$ entonces $f=k$ y $g=h$

Question

Demuestre que si $\langle f,g\rangle=\langle k,h\rangle$ entonces $f=k$ y $g=h$

Lo intenté pero me siento muy incómodo porque no creo que las cosas que supuse sobre $\langle f,g\rangle=\langle k,h\rangle$ tienen razón. ¿Le importaría a alguien comprobar mi prueba, y quizás comentar mis preguntas a continuación, por favor?

En particular, el hecho de que tengamos un par de flechas no significa necesariamente que el producto esté involucrado... ¿no?

Además, parece que tengo problemas para entender el concepto de producto en categorías en general. ¿Es $a \times b$ ¿se supone que es un producto cartesiano? ¿Pero no es ese un concepto de teoría de conjuntos?

En el libro también se menciona que la teoría de las categorías se ocupa del producto cartesiano sin mencionar el par ordenado; pero un par de flechas me parece casi indistinguible de un par ordenado.

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Def: Un producto en una categoría de dos objetos $a$ y $b$ es un objeto $a \times b$ junto con un par $(pr_a: a\times b \to a$ , $pr_b: a\times b \to b)$ de flechas tal que para cualquier par de flechas de la forma $(f:c\to a, g: c\to b)$ hay exactamente una flecha $\langle f, g \rangle : c \to a \times b$ haciendo conmutan, es decir, son tales que $pr_a \circ \langle f, g \rangle =f$ y $pr_b \circ \langle f, g \rangle =g$ es el producto flecha de $f$ y $g$ con respecto a las proyecciones $pr_a$ , $pr_b$ .

Aquí voy a hacer una suposición salvaje - que $\langle f, g\rangle$ y $\langle k, h\rangle$ son las flechas de un objeto (llamémoslo $D$ ) que se convierte en un producto cartesiano $a \times b$ (es decir, son como el $\langle f, g\rangle$ como se muestra en la imagen def.).

Si es así, significa que $pr_a \circ \langle f, g \rangle =f$ y $pr_a \circ \langle k, h \rangle =k$ . Pero como $\langle f,g\rangle=\langle k,h\rangle$ Esto significa que $pr_a \circ \langle k, h \rangle =f$ .

Sin embargo, $pr_a$ siendo una función de proyección, separa la coordenada izquierda. Si se da $\langle k, h \rangle$ $pr_a$ separa $f$ en cambio, esto debería significar que $f=k$ . Y un razonamiento similar va con $g=h$ .

Answer 1

Brevemente, dedujiste correctamente las igualdades $pr_a \circ \langle k,h\rangle=k$ y $pr_a \circ \langle k,h \rangle =f$ ¿cierto? Por lo tanto, $k=pr_a \circ \langle k,h \rangle =f$ . Y como usted dijo lo mismo funciona para $pr_b$ .

Obsérvese que se cumple una propiedad más fuerte: $\langle f,g \rangle =\langle k,h \rangle$ si y sólo si $f=k$ y $g=h$ . Esta es precisamente la definición de producto escribiste.

Answer 2

La notación $a \times b$ puede ser confuso cuando se aprende por primera vez sobre los productos en términos categóricos. $a \times b$ es simplemente un objeto que resulta satisfacer la propiedad universal del producto. Dependiendo de la categoría subyacente, puede ser o no el producto cartesiano. De forma similar, $\langle f, g\rangle$ es la flecha inducida por la propiedad universal. Ciertamente no es un par ordenado.

Para ilustrarlo, podemos reescribir la definición del producto sin utilizar ninguna notación sugerente. El producto de dos objetos $a$ y $b$ en una categoría $\mathcal C$ es un objeto $d$ con un par de flechas $p_a : d \to a$ y $p_b : d \to b$ tal que para cualquier objeto $c$ y flechas $f : c \to a$ y $g : c \to b$ existe una única flecha $u : c \to d$ satisfaciendo $f = p_a \circ u$ y $g = p_b \circ u$ .

Su prueba de la pregunta formulada es exactamente correcta. Ya que $\langle f, g\rangle = \langle k, h\rangle$ tenemos $$ f = p_a \circ \langle f, g\rangle = p_a \circ \langle k, h\rangle = k. $$

Y de manera similar, $g = h$ .